常用算法模板 | 快速幂

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了常用算法模板 | 快速幂相关的知识,希望对你有一定的参考价值。


在给学生讲解2017年普及组初赛“完善程序”第一题的时候,发觉用题目中的程序不太容易讲清楚快速幂算法。事实上,如果用分治的思想,那么写成递归函数更方便理解。而题目中的方法,是把p表示成二进制再拆分。



接下来解释一下快速幂的原理和模板。


假如我们要计算a^b,朴素算法可以通过循环将a连乘b次,时间复杂度为O(b),当b很大时,这种算法的效率较低。


如果把指数b写成二进制形式,可以将a^b拆分成同底数幂相乘的形式,运算更快。


例如 b = 19 时,b的二进制为10011,即:19 = 1 + 2 + 16,所以,

a^19 = a^(2^0) * a^(2^1) * a^(2^4)。当b的二进制从个位起第 i 位是 1 时,就乘以 a^(2^i);如果第 i 位是 0 ,则不必相乘。这样只要经过logb次循环就可以计算出结果了。


这一段是将b的二进制倒序输出的代码,同学们非常熟悉。

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
int b;
cin >> b;

while (b) {
cout << b % 2;
b /= 2;
}

return 0;
}

在这基础上稍做修改,就是快速幂算法的模板,这里1<= a, b, p <= 2*10^9

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
int a, b, p;
cin >> a >> b >> p;

long long res = 1;

while (b) {
if (b % 2) res = res * a % p;
a = (long long)a * a % p;
b /= 2;
}

cout << res;

return 0;
}


常用算法模板 | 快速幂


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