算法导论-动态规划学习笔记day01

Posted 2021-04-18 LearnEnglishEveryDay

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动态规划（也被称作备忘法）最大公共子串（LCS）

动态规划（也被称作备忘法）

最大公共子串（LCS）

存在两个字符串A（长度为n）和B(长度为m) 找出他们的公共子串

• 暴力搜索

  先找出A中所有的子串 再在B中搜索是否存在此子串

  给定子串，找出B中是否存在该子串的时间复杂度为O(n),因为只需要顺序遍历一次即可。

  B中总共含有2^m个子序列（可以将B看做为m位的位向量，每一位上可以为0或1，1代表包含该位，则共有2^m中可能组合。）

  worstcase: O(n*2^m) very slow

• 简化即动态规划

  使用C[i,j]记录A[1...i]和B[1...j]的公共子串的长度。则C[n,m]即为A和B的最长公共子串的长度。

  C[i，j]的计算过程为

上面公式我们通过条件限定了需要求解哪些子问题，与编辑距离类似。

子问题空间为mn 因为最终拆分出的子问题为 1,1 1,2 1,3 ... m,1 m,2 ...m,n

时间复杂度为θ（mn）

空间复杂度为θ（mn），实际上只需要θ（min(m,n)）每次只用一行或一列，和上一行或上一列的若干数据，选择行或列 是基于哪个更短。

用d[i]

• 动态规划两种方法

• top down

• bottom up

  得到C[i,j]后通过回朔法得到LCS

剪贴法：cut and paste 用来证明如果最优解不是最优解 则通过剪贴可以找到更好的最优解 与假设矛盾 从而得证

最优子结构性质：

一个问题的最优解包含子问题的最优解

动态规划3 hallmark（特征）：

最优子结构；重叠子问题

相关问题：编辑距离问题