一道动态规划的笔试题

Posted 2021-04-18 学习源笔记

      在一些大厂的笔试环节中，经常会考一些动态规划的算法题，比如以下题目。

     某幢大楼有100层。你手里有两颗一模一样的玻璃珠。当你拿着玻璃珠在某一层往下扔的时候，一定会有两个结果，玻璃珠碎了或者没碎。这幢大楼有个临界楼层。低于它的楼层，往下扔玻璃珠，玻璃珠不会碎，等于或高于它的楼层，扔下玻璃珠，玻璃珠一定会碎。玻璃珠碎了就不能再扔。现在让你设计一种方式，使得在该方式下，最坏的情况扔的次数比其他任何方式最坏的次数都少。也就是设计一种最有效的方式。

     例如：有这样一种方式，第一次选择在60层扔，若碎了，说明临界点在60层及以下楼层，这时只有一颗珠子，剩下的只能是从第一层，一层一层往上实验，最坏的情况，要实验59次，加上之前的第一次，一共60次。若没碎，则只要从61层往上试即可，最多只要试40次，加上之前一共需41次。两种情况取最多的那种。故这种方式最坏的情况要试60次。仔细分析一下。如果不碎，我还有两颗珠子，第二颗珠子会从N+1层开始试吗？很显然不会，此时大楼还剩100-N层，问题就转化为100-N的问题了。

    那该如何设计方式呢？  

    根据题意很容易写出状态转移方程：N层楼如果从n层投下玻璃珠，最坏的尝试次数是：max(n,1+F(N-n))

   那么所有层投下的最坏尝试次数的最小值即为问题的解：F(N) = min(max(1,1+F(N-1)),max(2,1+F(N-2)),...max(n,1+F(N-n)),...max(N-1,1+F(1)))。其中F(1)=1.

/*
 *功能：100楼层抛珠问题
 */
#include<iostream>
using namespace std;
int dp[101];
//N<=100;
int floorThr(int N)
{
    for(int i=2;i<=N;i++)
    {
        dp[i]=i;
        for(int j=1;j<i;j++)
        {
            int tmp = max(j,1+dp[i-j]);
            if(tmp<dp[i])
                dp[i] = tmp;
        }
    }
    return dp[N];
}
int main()
{
    dp[0]=0;
    dp[1]=1;
    int dis = floorThr(100);
    cout<<dis<<endl;
    system("Pause");
}

     输出为14，说明在合适的楼层抛玻璃珠，最差情况下只需14次可找到临界层。

     答案是先从14楼开始抛第一次；如果没碎，再从27楼抛第二次；如果还没碎，再从39楼抛第三次；如果还没碎，再从50楼抛第四次；如此，每次间隔的楼层少一层。这样，任何一次抛棋子碎时，都能确保最多抛14次可以找出临界楼层。