习题讲解 | Google, Facebook高频面试题动态规划（DP）

Posted 2021-04-18 来Offer网

Coin Change II，不仅是Google、Facebook、Microsoft、Yahoo等公司的高频面试题，也是一道非常经典的动态规划（DP）的题目。

本期习题讲解，我们就通过这道题目，帮助大家对动态规划有一个更进一步的理解。

先一起来看看题目：

题目描述

You are given coins of different denominations and a total amount of money. Write a function to compute the number of combinations that make up that amount. You may assume that you have infinite number of each kind of coin.

Note: You can assume that

• 0 <= amount <= 5000

• 1 <= coin <= 5000

• the number of coins is less than 500

• the answer is guaranteed to fit into signed 32-bit integer

Example 1

Input: amount = 5, coins = [1, 2, 5]
Output: 4
Explanation: there are four ways to make up the amount:
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

 

Example 2

Input: amount = 3, coins = [2]
Output: 0
Explanation: the amount of 3 cannot be made up just with coins of 2.

Example 3

Input: amount = 10, coins = [10]
Output: 1

考点解析

这道题目其实有很多种解法。比如有的同学会考虑用DFS（深度优先搜索）。这个方法其实是可行的，但问题是search space会指数型的增长。

因此，这道题目一个更好的方法就是动态规划（DP）。

DP的核心思想就是要想方设法把一个大问题切割成一个或多个小问题，然后用小问题的解去构建大问题的解。

动态规划一向是大公司onsite考察的重点，也是同学们知识上的一个难点。

动态规划问题的难点主要在于：

如何在短暂、紧张的面试过程中，快速的通过观察和divide & conquer的方法定义subproblem状态和状态转移方程，并写出bug free的代码。

接下来，我们有请吴老师为我们详解这道题的答案：

主讲人：吴老师

FLGU一线公司资深工程师

全国信息学奥林匹克竞赛（NOI）金牌

NOI中国国家队教练。

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解题思路

在本题中，吴老师讲解了从naive的动态规划算法，到最终一个时间、空间上都非常effient的算法是如何一步一步优化而来的。

解法1：Naive Dynamic Programming

这个题目是一个二维的动态规划问题，一方面是硬币的种类（n），另一方面是我们要拼凑成的数额（m）。

因此，这个问题可以刻画成：

f[i][j] = the number of combination to make up amount j with the first i types of coins.

这个题目的Base Case相对比较容易想到：

f[0][0] = 1

f[0][1...m] = 0

即用0种硬币，拼凑数额0，共有1种方法。而用0种硬币，拼凑大于0的任意数额，都不可能。

这个题目的Induction rule是：

在这个基础上，我们就能比较容易的写出这个题目的代码。

解法2：Faster Dynamic Programming

上一个解法虽然可以解决这个问题，但时间复杂度比较高。

进一步观察induction rule我们可以发现，其中有非常多冗余的计算。

如下图红色部分所示：

因此，我们可以进一步的优化induction rule：

解法3：Faster & More Space-efficient DP

在上一个解法的基础上，我们还可以进一步的观察：

以这个图为例，我们发现：

当我们求蓝色的f[1][6]的值的时候，根据induction rule，它只跟红色的两个状态f[0][6]和f[1][6 - coins[0]]相关。

这两个状态需要在算蓝色的f[1][6]之前算出来。

而它们刚好分别位于f[1][6]同一列上一行，和同一行前面某列。

这就意味着我们要把整个状态表格填完应该遵循从上往下、从左往右、逐行填写的顺序。

通过观察还可以得出，按照这个顺序我们可以用一个一维数组维护红色范围内的值，优化算法的空间复杂度。

当我们填写蓝色格子的时候，它的左侧都是已经填好的同行的结果，右侧仍然是上一行对应的结果。如下图所示：

代码实现

算法与代码中需要注意的细节处理及时间、空间复杂度分析请观看视频讲解。

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