动态规划背包问题之三国篇
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了动态规划背包问题之三国篇相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
原创声明：
本故事纯属虚构，如有雷同，纯属巧合。
撸二儿眉头紧锁，盯着电脑屏幕一言不发。
我凑上前儿一瞧，哎呀，正是《三国演义》第四十一回，“刘玄德携民渡江，赵子龙单骑救主”！却说这刘备携百姓弃新野，走攀城，又欲奔襄阳暂避，奈何蔡瑁拒不打开城门，只得转向江陵。途中遇刘表墓，复又伏前痛哭~
众将劝他：”今拥民众数万，日行十余里，似此几时得至江陵？倘曹兵到，如何迎敌？不如暂弃百姓，先行为上！”，刘备哭着说：“举大事者必以人为本。今人归我，奈何弃之？”
百姓闻玄德此言莫不伤感！
这时一位老父上前：”将军仁义，吾等皆愿跟随将军。怎奈吾包裹破旧，不能负重，欲择选数件背之，余弃之，将军可帮老朽定夺？”
刘备答曰“备不才，愿一试！”。
说着走到行李处，老父指道：“此处有一玉壶，重二两，值六两银子；一烟斗，重二两，值三两银子；一石器，重六两，值五两银子；一铁斧，重五两，值四两银子；一宝砚，重四两，值六两银子。老朽此包只得承载十两，将军可有良策，使吾负有所值？”
玄德暗忖道“倘若孔明在此，可询之。奈何先生与二弟前往江夏求救于公子琦，不在吾之左右，为之奈何啊？”
撸二儿看到此处，抓耳挠腮！
我见状，打趣道“盖闻撸二儿有经天纬地之才，扭转乾坤之力，匡扶宇宙之功…blablalba，公可有一策，以助玄德公？”
撸二儿听地得意洋洋，答道“汝所言赞美之词，不过书中寻章摘句，笔下虽有千言，胸中实无一策，此小儿之问，汝竟不知，亦不过如此耳！”
我悻悻道“愿闻其详！”
撸二儿愈加兴奋答道“汝可先列下表:
序号 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
物品 |
玉壶 |
烟斗 |
石器 |
铁斧 |
宝砚 |
重量(W) |
2 |
2 |
6 |
5 |
4 |
价值(V) |
6 |
3 |
5 |
4 |
6 |
然后每个物品试之，皆列出如下可行之策：
策一：物品1
策二：物品2
策三：物品3
策四：物品4
策五：物品5
策六：物品1 + 物品2
策七：物品1 + 物品3
…….
如此这般，列出所有可选之策，择其最优，岂不解之？”
撸二儿说完，愈发得意起来。
我答道“此虽好，算起来未免复杂，每物有两态，可选或不可选，即：
2*2*……*2 = 2^n；
n
亦即共需计算2^n次，此法未免计算过多啊？”
撸二儿低头沉思，半响问道“公可有良策？”
我又说道“公饱读诗书，每日自比于管仲，乐毅……blablabla~”
撸二儿急忙起身腾出椅子，双手作楫道“小生狂妄，在此班门弄斧，为先生所笑！愿先生不与小儿之见，还望教之！”
我看撸二儿态度诚恳，不忍戏之，便执笔说道“汝可取建立以下模型：
最大的价值：
MAX = max( V1X1 + V2X2 + …+ VnXn)；
V1，V2，V3…Vn为每物价值；X1，X2，…Xn为0或1；
约束条件：
W1X1 + W2X2 +…+ WnXn <Capacity；
W1，W2，…Wn为每物重量；Capacity为包裹承重最大值；
定义当前状态价值：
V(i，j)；
此值表明第i个物品，当前包裹承重为j时最佳组合对应的价值；
对第i个物品的判断，可分为以下两种情况：
情况一：
当前包裹承重j小于物品重量Wi，此时的价值与前i-1的物品价值相等，即
V(i，j ) =V(i-1，j)；
情况二：
当前包裹承重j大于等于物品重量Wi，
此时若选择拿，则：
V(拿) = V(i，j) = V(i-1，j – Wi) + Vi；
若选择不拿，与前i-1个物品价值相等，则：
V(不拿) = V(i，j) = V(i-1，j)，
取V(拿)与V(不拿)大者即可。
据此填出下表T1：
序号 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
物品 |
玉壶 |
烟斗 |
石器 |
铁斧 |
宝砚 |
重量(W) |
2 |
2 |
6 |
5 |
4 |
价值(V) |
6 |
3 |
5 |
4 |
6 |
T1
i/j |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
2 |
0 |
0 |
6 |
6 |
9 |
9 |
9 |
9 |
9 |
9 |
9 |
3 |
0 |
0 |
6 |
6 |
9 |
9 |
9 |
9 |
11 |
11 |
14 |
4 |
0 |
0 |
6 |
6 |
9 |
9 |
9 |
10 |
11 |
13 |
14 |
5 |
0 |
0 |
6 |
6 |
9 |
9 |
12 |
12 |
15 |
15 |
15 |
不难看出，V(0，j) = V(i，0) = 0，(i，j = 0，1，2…10)；
(1) V(1，1)：j = 1 < W1 = 2，
即V(1，1) = V(0，1) = 0，故取0填入上表V(1，1)；
(2) V(1，2)：j = 2 = W1 = 2，
即V(拿)= V(0，0) + V1 = 6，
V(不拿) = V(0，2) = 0，
V(拿) > V(不拿)，故取6填入上表V(1，2)；
(3) V(1，3)：j = 3 > W1 = 2，
即V(拿) = V(1，1) + V1 = 6，
V(不拿) =V(0，3) = 0，
V(拿) > V(不拿)，故取6填入上表V(1，3)；
以此推之，如
V(4，7)：j = 7 > W4 = 5，
即V(拿) = V(3，2) + V4 = 6 + 4 = 10，
V(不拿) =V(3，7) = 9，
V(拿) > V(不拿)，故取10填入上表V(4，7)；
汝填完此表，汝即可知选择物品得到的最大价值！”
撸二儿得此表，聚精会神地填写起来~
须庾，表填毕，撸二儿拿起表来，捻须好一番审视！
“先生，小生还有一问。”撸二儿问道，
“汝但问无妨！”我爽快地答道。
“此虽能获得所选之物最大价值，却不能得出所选物品，还请先生赐教。”撸二儿问道。
“好，及俺给你道来！”我按在桌台上又答道：
“汝可知，选择物品最大价值在何处？”我问道，
“余观表T1可知，所取最大值在V(5，10)，V(5，9)及V(5，8)处。”撸二儿答道。
“善！既如此，不妨取V(5，10)以观之：
V(5，10) ≠ V(4，10)，即已取物品5，而又观：
V(5，10) = V(4，6) + V5 = 9 + 6 = 15，知：
V(5，10)上一状态为V(4，6)。
循此法，即可知所选之物为5、2、1，具以表T2以示。”我缓缓说来。
T2
i/j |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
2 |
0 |
0 |
6 |
6 |
9 |
9 |
9 |
9 |
9 |
9 |
9 |
3 |
0 |
0 |
6 |
6 |
9 |
9 |
9 |
9 |
11 |
11 |
14 |
4 |
0 |
0 |
6 |
6 |
9 |
9 |
9 |
10 |
11 |
13 |
14 |
5 |
0 |
0 |
6 |
6 |
9 |
9 |
12 |
12 |
15 |
15 |
15 |
“得遇先生所论，甚善，待吾乘时间机器到那三国，以且玄德公！”说罢，撸二儿自念咒语“ѾѽѺѨѩҚXLѤҀSHAҁӁ！”念完风起云滚，忽得一道闪电，携撸二儿一同进入到那荧幕中~
刘备正愁眉莫展，忽得一阵怪风袭来！
飘飘然来一位鹤发单颜的老者，对备曰“将军莫虑，如在下给你道来~~”，这位仙风道骨的老者正是撸二儿，他教以刘备如是这般，使得备顷刻茅塞顿开！
说完，撸二儿正欲归来，备扯着撸二儿的袖子道“备遇先生，如久旱需甘霖…blablabla~”
（以上内容若有不严谨，错误之处，欢迎各位大佬指正，感激不尽！）
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