递归与动态规划----基础篇2

Posted 2021-04-18 帅地玩编程

ps:最近几天正在刷一些有关动态规划的题，我会把自己学习时的想法以及做题的想法记录下来。如果你觉得对你有帮助，欢迎关注，谢谢。

如果你没看过基础篇1，可以看一看勒

下面为大家讲解另外两道，难度会提升一点点

数字三角形案例

题目描述 Description 下图给出了一个数字三角形，请编写一个程序，
计算从顶至底的某处的一条路径，
使该路径所经过的数字的总和最大。 注意：每一步可沿左斜线向下或右斜线向下 

输入描述：
第1行是输入整数
（如果该整数是0,就表示结束，不需要再处理），
表示三角形行数n，然后是n行数
样例输入： 
5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5

解题思路： 对于这种有多种选择的题，一般都可以使用递归的方法来做，上节讲过，对于递归的题，最重要的 就是找出递归的两个条件：

1. 两个函数之间存在的关系 2. 递归结束的临界条件

我们先来声明一些变量来记录一些东西

    1. 用D(i,j)这个二维数组来记录这个数字三角形，
i表示第i行，j表示第j列，D(i,j)表示第i行j列这个点的值    2. MaxSum(i, j) : 从D(r,j)到底边的各条路径中，
最佳路径的数字之和(动态规划记录状态会用到)    3. state(i,j):用来记录D(i,j)这个点是否计算过，
如果还没有计算过，则state(i,j) = -2,
否则state(i,j) = MaxSum(i,j).

现在我们来寻找递归的两个条件

1. 我们从第0行开始一直走，显然，当我们走到最后一行时，递归结束，此时i = n-1(因为我们从第0行开始算)

2. 当我们处在D(i, j)这个点时，我们可以笔直往下走，也可以斜着往下走，有两种走法 。我们的目标时找出使总路径较大的点，可以得到递归公式：

 MaxSum(i,j) = max{MaxSum(i+1, j), MaxSum(i+1, j+1)} + D(i, j)

找出了这两个条件，就好做了。代码如下：

int MaxSum(int i, int j){
if(i == n-1)
    return D[i][j];//最底层，把该点的路径值返回
int x = MaxSum(i + 1, j);//计算笔直向下走时的最优路径
int y = MaxSum(i + 1, j + 1);//计算斜向下走时的最优路径
return max(x,y) + D[i][j];
}

问题所在：

    和上次讲的一样，这种递归属于暴力递归，会有很多重复计算的。和上次讲的跳台阶那个类似。时间复杂度是O(2的n次方)

重复计算的次数如下图所示

下面我们采用动态规划的方法（递归动态保存）

    其实，我们可以每次在计算D(i,j)的时候，
把计算出来的最优解MasSum(i,j)保存起来，
下次需要的时候，先查看D(i,j)是否之前计算过，
如果计算过，直接取出来就可以了。
前面说过我们把值存放在state(i,j)这个数组里。

代码如下所示

`   int MaxSum(int i, int j){
if(i == num)//临界值
    return D[i][j];
else if (state[i][j] != -2)//表示这个 点已经计算过了
{
    return state[i][j]//直接取出返回
}else//否则的话就只好乖乖计算
{
    int x = MaxSum(i + 1, j);
    int y = MaxSum(i + 1, j + 1);
    state[i][j] = max(x,y) + D[i][j];//保存起来
    return state[i][j];
}
}`

时间复杂度为O(n2)O(n2)，因为三角形的数字总和为n(n+1)/2n(n+1)/2

ps:其实这道题也可以用递推方法的动态递归来接，
从底部往上算起，有兴趣的可以思考下。
有兴趣且想不出的可以问我勒

---

 二、

    学这个最重要的就是多练些题了，刚开始的时候尽量找写简单点的题，函数与函数之间的递归关系比较容易 找的题。下面找给大家介绍道题，和上次讲的类型比较一样，算是比较基础的题：

问题：
    我们可以用2*1的小矩形横着或者竖着去
覆盖更大的矩形。请问用n个2*1的小矩形无重
叠地覆盖一个2*n的大矩形，总共有多少种方法？

还是我说的一样，找出

    (1).递归的结束条件。

    (2).函数与函数之间的递归关系

1.先找结束条件：

（1）当 n < 1时，显然不需要用2*1块覆盖，应该返回 0。

（2）当 n = 1时，只存在一种情况

（3）当 n = 2时，存在两种情况

（4）当 n > 2时，显然是需要横着放和竖着，这时两种情况交替放，就会产生递归的之间的函数关系（下图是n=3的情况）

即 f(n) = f(n-1) + f(n-2). (有木发现这些题都很类似，解法几乎一样)

代码如下所示

int f(int n){
    if(n < 1)return 0
    else if(n == 1)return 1
    else if(n == 2)return 2
    else return f(n-1) + f(n-2)
}

老规矩，这样做，有很多重复算的，采用动态记录的方法。以n为key,f(n)为value保存在map容器中

     Map<Integer , Integer> m = new HashMap<>();
    int f5(int n){
        if(n < 1){
            return 0;
        }
        else if(n == 1){
            return 1;
        }else if(n == 2){
            return 2;
        }else{
            if(m.containsKey(n)){
                return m.get(n);
            }else{
                int sum = f5(n-1) + f5(n-2);
                map.put(n, sum);
                return sum;
            }
        }
    }

如果你有其他想法，或者更完美的做法，欢迎指点江山。

后期会继续写自己所学的知识，以及刷过的题、算法。

    

个人微信：