石子合并（区间动态规划）- NYOJ 737

Posted 2021-04-18 ACM算法日常

描述

        有N堆石子排成一排，每堆石子有一定的数量。现要将N堆石子并成为一堆。合并的过程只能每次将相邻的两堆石子堆成一堆，每次合并花费的代价为这两堆石子的和，经过N-1次合并后成为一堆。求出总的代价最小值。

输入

有多组测试数据，输入到文件结束。
每组测试数据第一行有一个整数n，表示有n堆石子。
接下来的一行有n（0< n <200）个数，分别表示这n堆石子的数目，用空格隔开

输出

输出总代价的最小值，占单独的一行

样例输入

3

1 2 3

7

13 7 8 16 21 4 18

样例输出

9

239

思路：

        若没有要求将相邻的两堆石子堆成一堆，那么那么我们可以把n堆石子放入一个优先队列，每次取出最小的两堆，合并后压入优先队列，直到队列中只有一堆为止。

 

        题目要求合并的过程只能每次将相邻的两堆石子堆成一堆，所以使用区间动态规划来解决。

        即若要求一个大的区间的最优解，先求小区间的最优解，然后小区间慢慢的推出大区间的最优解。

        核心部分就是三层for循环，第一层枚举区间的长度，第二层枚举起点的位置，第三层枚举最后一次合并的位置。

 

例如：

        要求1~5这个区间，用dp[1][5]来形容1~5的最优值，那么dp[1][5]肯定为dp[1][1]+dp[2][5],dp[1][2]+dp[3][5], dp[1][3]+dp[4][5] ,d[1][4]+dp[4][5]这个四个值里面最小的一个，而这些子区间肯定是由更小的子区间组成的，所以应该一步一步推，先求小子区间最优解，最后求出dp[1][n]。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define inf 0x3f3f3f3f
//#define inf 1<<20
const int maxn = 210;
int n, a[maxn];
int  dp[maxn][maxn];
//dp[i][j]表示从第i堆到第j堆合并的代价
int  sum[maxn][maxn];//表示石头的数量
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    while (cin >> n)
    {
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            cin >> a[i];
        memset(sum, 0, sizeof(sum));
        //fill(dp[0],dp[0]+n*n,inf);//错误
        fill(dp[0], dp[0] + maxn * maxn, inf); //fill填充量必须是常数

        for (int i = 1; i <= n; i++)
            sum[i][i] = a[i], dp[i][i] = 0;

        for (int len = 1; len < n; len++) { //区间长度
            for (int i = 1; i <= n && i + len <= n; i++) { //区间起点
                int j = i + len; //区间终点
                for (int k = i; k <= j; k++) //用k来表示分割区间
                {
                    sum[i][j] = sum[i][k] + sum[k + 1][j];
                    dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k + 1][j] + sum[i][j]);
                }
            }
        }
        cout << dp[1][n] << endl;
    }
    return 0;
}