学界0-1背包问题的动态规划算法
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了学界0-1背包问题的动态规划算法相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
1
首先得知道什么是0-1背包问题(knapsack problem)
贼,夜入豪宅,可偷之物甚多,而负重能力有限,偷哪些才更加不枉此行?
抽象的话,就是:
给定一组多个()物品,每种物品都有自己的重量(
)和价值(
),在限定的总重量/总容量(
)内,选择其中若干个(也即每种物品可以选0个或1个),设计选择方案使得物品的总价值最高。
更加抽象的话:
给定正整数、给定正整数
,求解0-1规划问题:
示例应用:处理器能力有限时间受限,任务很多,如何选择使得总效用最大?
数值例子:如下图。

2
0-1背包问题的定性
对于一般性的0-1背包,
贪婪算法无法得到最优解。
反例,不多解释——

事实上它可能想多差有多差(以 作为“贪婪”的标准,也不多解释了)——

确定性问题版本的背包问题是NP的,
,是Karp的21个NPC问题之一(实际上Karp的表述是现在所称的子集和(subset sum)问题)。
3
0-1背包问题的递推关系
定义子问题 为:在前
个物品中挑选总重量不超过
的物品,每种物品至多只能挑选1个,使得总价值最大;这时的最优值记作
,其中
考虑第 个物品,无外乎两种可能:选,或者不选。
不选的话,背包的容量不变,改变为问题
;
选的话,背包的容量变小,改变为问题
。
最优方案就是比较这两种方案,哪个会更好些:
。

得到
4
“填二维表”的动态规划方法
算法就很自然了:

之前的例子填表的结果是——

(蓝色格子表示本行值发生变化的格子)
然后发生
时才会有“取第件物品”发生。
所以从表格右下角“往回看”如果是“垂直下降”就是发生了 ,而只有“走斜线”才是“取了”物品。

这个算法的复杂度就很容易算了——每一个格子都要填写数字,所以时间复杂度和空间复杂度都是 。当"
"时(就不严谨地使用渐近分析的语言了),复杂度是
。
5
所谓“填一维表”的动态规划方法
其实呢,上面那个二维表,也可以用一行来存储啊!对不啦?
所以,根本的区别在于思想,而不是具体存储方式。
那么这个算法的思想又是什么呢?——其实就是:
每行都有些数值相同的哦,所以
只记录每行里那些不同的数值就好了啊。
例如上面的表格中,只记录蓝色的部分,
格式是(为了方便阅读,再贴一次图):

……(不写了,累)
? 你会说,这也没省什么地方啊?!
的确,对于这个例子来说是这样的——要不然数值太大我画不下。
你假设每个 都扩大1000倍,那样的话,表格也扩大到1000倍,填表时间也增加到1000倍,然而蓝色的格子还是那么多。
? 好了,继续,下面有三个问题:
�� 下面来看问题2,一定是发生了“容量扩大后有个新的东西可以放下了”!
例如,前面例子中如下图所示:

看下
是右移
上移
。
所以 就是下述两条“阶梯”

在max意义下的“叠加”。

比较 的“转折点”:


于是:
对于每一个 , 最多只有
个“转折点”——因为
个物品,最多只有
个“选”、“不选”的组合;
那部分的所有可能的“转折点”就是由
的每个转折点
变为
;(“可能”这个词后面再解释)
推而广之, 那部分的所有可能的“转折点”就是由
的每个转折点
变为
。
设置,则由
得到
的所有可能的“转折点”为
。
例如 :

例如 :

这时有些问题:
超过
的部分可以不用考虑;
绿色的圆形里有些“转折点”被湮没了——这就是之前说的“可能”的意思。
来看哦,
于是 的所有可能应该是

Ok,首先删除掉第二分量大于 的(上图红框里)(称作第一类抛弃),得到
然后按第二分量递增排序,得到:

按道理说,对于阶梯函数来说,如果第二分量是递增的,那么第三分量也应该是递增的。但是上图中红框里不是哦——事实上它们是“被湮没”的“转折点”(上图的黄色圆形)。
所以哦,弃掉他们(称作第二类抛弃),得到
,就是下图 。

而最终结果就是 的最后一项的第三个分量。
由得到
的过程是(例如):
已经按照第二分量递增排序好,
之后先写成
然后对第一个三元组,

删除当前位置之后被“湮没”的

对第二个三元组,一定是插入当前位置之后,并被立即“湮没”,

不断这样进行下去,并注意第一类抛弃即可得到 。
令,则可以得到(由于分行了,就不在乎三元组的第一分量了):

然后所谓“一维”存储,其实就是把它“存储成了”一维,例如使用两个一维数组和一个start数组做“分割”:

? 然后就是如何得到方案——
看 的最后一个是不是与
的最后一个相同,相同的话就直接看
;
的最后一个与
的最后一个不同,所以一定拿了物品4,然后看
第二分量不超过5(=
)的最后一个,是 (5,18);
(5,18) 与 的最后一个不同,所以一定拿了物品3;
……然后类推。
? 最后是分析复杂度:
路线是计算 的元素个数,然后对
求和,就得到了所有“蓝色格子”的数量。
然后,
首先,由于在不考虑两类抛弃的情况下(最差情况就是不发生这两类抛弃),元素个数恰好等于
元素数的两倍;也可以这样来看——对于每一个
最多只有
个“转折点”;
由 得到
时,
中各组的第二分量、第三分量一定彼此不同,那么每个
中的
的取值范围是
,第三分量的取值范围是
。所以这样的三元组最多有
个。
对 求和,得到
而由 产生
的计算过程主要就是产生一个新的对、插入、删除(抛弃),所以这个过程的计算量是和
元素数成正比的。
所以得到,无论空间复杂度还是时间复杂度,都是 的。
即使 ,这时的算法复杂度也控制在
之内。
责任编辑:王源
微信编辑:葡萄
文章来源申明:
本篇文章来自知乎文章 0-1背包问题的动态规划算法(https://zhuanlan.zhihu.com/p/30959069?utm_source=wechat_session&utm_medium=social)
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