算法——动态规划

Posted 2021-04-18 代码综合征

本节学习动态规划：它将问题分成小问题，并先着手解决这些小问题。

背包问题

本节同样考虑背包问题：

三件商品，音响3000元，4磅；笔记本电脑2000元，3磅；吉他1500元，1磅。

一个背包可以装4磅的东西，如何往背包中装商品能够得到最高的价值？

有一个简单的算法，尝试各种可能的组合，并找出价值最高的组合。但是这样的算法非常慢，因为其运行时间为O(n^2)。

动态规划

动态规划实际是先解决子问题，在逐步解决大问题。比如针对背包问题，动态规划可以从一个网格开始：

	1磅	2磅	3磅	4磅
吉他	1500	1500	1500	1500
音响	1500	1500	1500	3000
笔记本电脑	1500	1500	2000	3500

计算每个单元格时用的是同样的公式：

 
   
   
 

  
    
    
  
cell[i][j]=max(上一个单元格的值（cell[i-1][j]）, 当前商品的价值+剩余空间的价值（cell[i-1][j-当前商品的重量]）)
 
   
   
 

对于这个表格填充来说：

行的排列顺序发生变化，结果不变。按逐列填充而不是逐行填充，可能会有影响。

需要考虑细分的粒度，比如再背包问题中增加了0.5磅的项链，那么就需要细分粒度。

旅游行程最优化

假设想去伦敦旅游，假期两天，每个景点游览的时间不同，评分不同。想设计出一个旅程，所有游览的景点总评分最高。这个问题也可以看做是一个动态规划的问题。

名胜	时间	评分
威斯敏斯特教堂	0.5天	7
环球剧场	0.5天	6
英国国家美术馆	1天	9
大英博物馆	2天	9
圣保罗大教堂	0.5天	8

动态规划的表格为：

	0.5	1	1.5	2
威斯敏斯特教堂	7	7	7	7
环球剧场	7	13	13	13
英国国家美术馆	7	13	16	22
大英博物馆	7	13	16	22
圣保罗大教堂	8	15	21	24

这样就得到了最优解。

另外，考虑如果还想去巴黎，埃菲尔铁塔、卢浮宫、巴黎圣母院每个需要1.5天。但是实际上这里面有0.5天的时间是从英国移动到法国。

旅程中只要增加了任意一个法国的景点，法国其他景点的时间会减少0.5。这种情况如何使用动态规划呢？

这种情况没办法使用动态规划。因为动态规划的每个子问题必须是离散的，互相不会有依赖。

总结

• 需要在给定约束条件下优化某种指标时，动态规划很有用。

• 问题可分解为离散子问题时，可使用动态规划来解决。

• 每种动态规划解决方案都涉及网格。

• 单元格中的值通常就是你要优化的值。

• 每个单元格都是一个子问题，因此你需要考虑如何将问题分解为子问题。

• 没有放之四海皆准的计算动态规划解决方案的公式。