动态规划问题初步：序列类和双序列类

Posted 2021-04-18 折花

概述

动态规划和分治算法类似，都是通过组合子问题的解来求解原问题，但是分治算法将问题划分为不相交的子问题，往往会产生大量的计算，而动态规划应用于子问题重叠的情况，保存子问题的解，避免不必要的计算。

常见问题形式和解决要素：很重要，加急，加重

常见的动态规划问题的目的有最大最小值，统称最优解、方案可行性和总数等。常见的题目类型有序列、矩阵、划分、区间、背包、状态压缩、树，问题要素有：状态、状态转移方程、初始值、目标解。

钢条切割问题

这是算法导论上的入门题目，首先我们找到状态转移方程，方程代表着我们如何将当前问题的求解转移到子问题的求解上。钢条的初始长度为4，我们面临两种选择，切还是不切，得到不切的价格为f(4) = n4，切的价格为f(4)=n1+f(3),所以通过方程：f(4) = max(n4,n1+f(3)),就将问题转移到了切割3长度钢条上，同理直至为1，不断的递归直到求解完毕。

当然有很多的子问题的解是共用的，比如2长度的解，3长度的解，我们可以使用一个数据结构将这些解保留以重用。

以上是备忘录的自顶向下方法，自底向上的方法思路更为明确，即求解n=1时的最优解，在此基础上求解n=2的最优解，往上直到n=4，自底向上我们可以保留最优解是如何切割的。这个问题比较基础就不编码了。

跳跃游戏

这是leetcode上的一道动态规划题目，分析思路一致，也是寻找到状态转移方程，事实上序列和矩阵的状态一般都是下标。

初级阶段霸主级别题目：最长公共子序列

初级阶段是我看见后面的压缩和树类题目后默默添加上去的，哭，这个问题一个不容易想到的一点就是：对于序列X（x1，x2,x3,x4...xm）和序列Y(y1,y2,y3,y3,...yn)的最长公共子序列Z（z1,z2,z3,,,,zk）有以下特征：

1、如果xm=yn：Zk-1 是 Xm-1和Yn-1的一个最长公共子序列

2、否则，若Zk != Xm ,Zk就是Xm-1和Yn的一个最长公共子序列

3、否则，若Zk != Yn ,Zk就是Xm和Yn-1的一个最长公共子序列

然后自底向上，按照以上规则，公式如下：

1、当i=0或j=0时，C[i,j] =  0;

2、当Xi=Yj时，C[i,j] = C[i-1,j-1] + 1

3、否则，看特征3，不想打公式了

例题见算法导论，先求解X1和Y1的最直到长公共子序列，得到C[1,1] = 0,然后求X1和Y1，Y2的LCS,依次类推，记录每个X和Y的LCS，直到遍历完整个空间，得到最终的LCS。

假设，X{A,D,V,F,F,D,F,G,G},Y{W,F,R,R,H,H,D,T,I}简单总结就是，最终的LCS也就是C[9,9],按照特征需要C[8,8]和C[8,9],C[9,8],而后续的三者又分别需要C[7,7]......,再后续又需要C[6,6]........,直到需要C[1,1]C[0,0],C[0,1],C[1,0]，他们一定为0或单个字符的比较。就这样不断的分治获得结果。

太长还困不想编码。

下一步就要搞压缩和树的动态规划，另外更新今天所有代码，还会做一下背包问题的动态规划，这样动态规划类的题目就算全部眼熟了。