算法与编程：怎样迈台阶——动态规划算法

Posted 2021-04-18 白珍名师工作室

展现独立思想  博采百家众长

汇集涓涓细流  共向辽阔海洋

 

（本文摘自网络，作者为“梦见”）

小白同学和大黄老师

 在中，小白同学用递归算法编写了程序，大黄老师认为在空间复杂度还可以优化。

 

大黄老师：当遇到困难时，最有效的解决办法就是逆转思路。想一想，我们一定要对F(n)自顶向下做递归运算吗？能不能反过来，自底向上进行，用迭代的方式推导结果？

 

小白同学：怎么做呢？

 

大黄老师：我通过一张表格，来说明自底向上求解的过程。表格的第一行代表楼梯台阶的数目，第二行代表若干级台阶对应的走法数量，F(1)=1，F(2)=2，这是已知结论。 

第一次迭代，台阶数等于3时，走法数量是3，这是由F(2)和F(1)相加得出的，所以F(3)只依赖于F(1)和F(2)。

 

第二次迭代，台阶数等于4时，走法数量是5，这是由F(3)和F(2)相加得到的，所以F(4)只依赖于F(3)和F(2)。 

 

同理，在后续的迭代中，F(5)只依赖于F(4)和F(3)，F(6)只依赖于F(5)和F(4)……

 

由此可见，每一次迭代过程中，只要保留前两个状态，就可以推导出新的状态，而不需要像备忘录算法那样保留全部的子状态。

 

这才是真正的动态规划实现，现在，你根据这个思路写出代码吧。

 

小白同学：好的。

 

方法三：动态规划求解 

 

程序从 i=3 开始迭代，一直到 i=n 结束。每一次迭代，都会计算出多一级台阶的走法数量。迭代过程中只需保留两个临时变量a和b，分别代表上一次和上上次迭代的结果。为了便于理解，程序引入了temp变量。temp代表当前迭代的结果值。

 

大黄老师：现在计算一下这个方法的时间复杂度和空间复杂度。

 

小白同学：时间复杂度显然是O(n)，由于只引入了两个或三个变量，所以空间复杂度应该是O(1)，这个程序的效率真高。

 

大黄老师：是的。这就是动态规划，利用简洁的自底向上的递推方法，实现了时间和空间的优化。

 

不过，这道上楼梯的题目只是动态规划领域最最简单的问题，因为它只有一个变化维度，实际生活中的问题要复杂得多。比如下面这个题目，你可以试着解一下。

 

题目：国王和金矿

有一个国家发现了5座金矿，每座金矿的黄金储量不同，需要参与挖掘的工人数也不同。参与挖矿工人的总数是10人。每座金矿要么全挖，要么不挖，不能派出一半人挖取一半金矿。要求用程序求解出，要想得到尽可能多的黄金，应该选择挖取哪几座金矿？

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