动态规划——最长上升子序列

Posted 2021-04-18 coding易码当先

1. 题目描述

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        给定N个数，求这N个数的最长上升子序列的长度。

2. 问题分析

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• 什么是最长上升子序列？
  给出一个样例，如图所示。[2,3,4,7] 和 [2,3,4,6] 就是序列 [2,5,3,4,1,7,6] 的两个最长上升子序列。最长的长度是4.

    

• 如何求最长上升子序列？
  假设以第 n 个数字结尾的子序列的最长长度用 f(n) 表示，对于第 n 个数字之前的数字我们使用 i 表示，i∈(1,2,⋯,n−1)。如果第 i 个数字小于第 n 个数字，那么 f(n)=max(f(n),f(i)+1)，而如果第 i 个数字大于或者等于第 n 个数字，则不能够构成以第 n 个数字结尾的上升子序列。

3. 代码实现

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    有了上述的递推关系式，我们也可以使用递归实现，也可以使用动态规划实现，出于效率考虑，下面使用动态规划实现，实现代码如下：

def find_max(data, number):
    """
    求出一个序列中最长上升子序列的长度。
    :param data: 给定的序列
    :param number: 给定序列的长度
    :return: 最大长度
    """
    max_len = [1] * number

    for i in range(1, len(data)):
        for j in range(0, i):
            if data[j] < data[i]:
                max_len[i] = max(max_len[i], max_len[j] + 1)

    return max(max_len)