经典动态规划之01背包

Posted 2021-04-18 超级码厉

reference: cui tian yi                            

1.1 题目

有 N 件物品和一个容量为 V 的背包。放入第 i 件物品占用的容量是 Ci, 得到的价值是 Wi。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

1.2 基本思路

这是最基础的背包问题，特点是: 每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

用子结构定义状态:即 F [i, v] 表示前 i 件物品恰放入一个容量为 v 的背包可以获得的最大价值。

则其状态转移方程便是: F[i,v] = max{F[i − 1,v],F[i − 1,v − Ci] + Wi}

详细解释:

（1）“将前 i 件物品放入容量为 v 的背包中”这个子问题，若只考虑第 i 件物品的策略(放或不放)，那么就可以转化为一个只和前 i − 1 件物品相关的问题。

（2）如果不放第 i 件物品，那么问题就转化为“前 i − 1 件物品放入容量为 v 的背 包中”，价值为 F [i − 1, v];

（3）如果放第 i 件物品，那么问题就转化为“前 i − 1 件物品放 入剩下的容量为v−Ci 的背包中”，此时能获得的最大价值就是F[i−1,v−Ci]再加上 通过放入第 i 件物品获得的价值 Wi。

1.3 java实现

package com.algrithm.onehundred;
public class BackPack01 {  public int backPack01(int capacity, int[] volume , int[] value) {    int number = volume.length;    int[][] f = new int[number + 1][capacity + 1];
    for (int i = 1; i < number + 1 ; i++) {        for (int j = 1; j < capacity + 1; j++) {            // 第i个物品体积大于背包的体积，表示装不下,物品不能放进去          if (volume[i-1] > j) {              f[i][j] = f[i - 1][j];           } else {              f[i][j] = Math.max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - volume[i - 1]] + value[i - 1]);           }          }      }      return f[number][capacity]; }
  public static void main(String[] args) {      BackPack01 bp = new BackPack01();      int capacity = 12;      int[] volume = {3,5,2,6,4};      int[] value = {1,1,1,1,1};      int max = bp.backPack01(capacity, volume, value);      System.out.println("max = " + max);   }}

1.4 你还能优化空间吗？

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