春招好题 | 动态规划——硬币问题及其变形

Posted 2021-04-18 小K技术碎笔

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了春招好题 | 动态规划——硬币问题及其变形相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

小K最近在笔试中遇到一道挺有（bu）意（hui）思（zuo）的编程题，给大家分享一下。原题如下：

题目描述

小Q去商场购物，经常会遇到找零的问题。

小Q现在手上有n种不同面值的硬币，每种面值的硬币都有无限多个。

为了方便购物，小Q希望带尽量少的硬币，并且要能组合出1到m之间（包含1和m）的所有面值。

输入描述

第一行包含两个整数m, n（1<=n<=100，1<=m<=10^9），含义如题目所述。

接下来的n行，每行一个整数，第i+1行的整数表示第i种硬币的面值

输出描述

输出一个整数，表示最少需要携带的硬币数量。如果无解，则输出-1。

示例（输入输出示例仅供调试，后台判题数据一般不包含示例）

输入

20 4

输出

乍一看就是一道简单的DP，小K还高兴了一会。但是仔细理解题意会发现，这道题并没有看上去那么简单。且听我慢慢分析...

难度等级☆：给定N种硬币和钱数M，求使用的最少钱币数

这就是一个简单的一维DP，构建一个长度为M+1的数组dp和长度为N的数组coins（记录每种钱币的面值）。若存在某个面值的钱币，则对于该面值的钱数只需要一个钱币即可，所以有：

dp[coins[i]] = 1（i=1,2,3,...,N-1）

对于其它情况，只须考虑最后一个钱币的面值，将问题规模降下来，利用前面动态规划的结果，有：

dp[j] = min(dp[j-coins[i]] + 1)

其中 j = 1,2,3,...,M 且 j ≠ coins[i], i = 1,2,3,...,N-1

代码如下：

#include <iostream>#include <vector>#include <limits.h>using namespace std;int main() { int m,n; cin>>m>>n;    vector<int> coins(n, 0);  //每种钱币的面值 vector<int> dp(m+1,0); for(int i = 0; i < n; i++){ cin>>coins[i]; dp[coins[i]] = 1; } for(int i = 1; i <= m; i++){ int tmp = INT_MAX; for(int j = 0; j < n; j++){ if(i - coins[j] >= 0){ tmp = min(tmp, dp[i-coins[j]] + 1); } } dp[i] = tmp; } cout<<dp[m]<<endl; return 0;}

难度等级☆☆：给定N种硬币和钱数M，计算有多少种获得M的钱币组合

问题变成了二维DP，我们可以构建一个（N+1）×（M+1）的二维数组dp，dp[i][sum]表示用前i种硬币构成sum的所有组合数。

那么题目的问题实际上就是求dp[N][M]，即用前N种硬币（所有硬币）构成M的所有组合数。

我们也可以这么考虑，我们希望用N种硬币构成M，根据最后一个硬币Vm的系数的取值为无非有这么几种情况，xm分别取｛0, 1, 2, …, sum/Vm｝。可以表达为下面的等式：

sum = x1 * V1 + x2 * V2 + … + 0 * Vm

sum = x1 * V1 + x2 * V2 + … + 1 * Vm

sum = x1 * V1 + x2 * V2 + … + 2 * Vm

…

sum = x1 * V1 + x2 * V2 + … + K * Vm

其中K是该xm能取的最大数值K = sum / Vm

在上面的联合等式中：当xn=0时，有多少种组合呢？实际上就是前i-1种硬币组合sum，有dp[i-1][sum]种！ xn = 1 时呢，有多少种组合？实际上是用前i-1种硬币组合成(sum - Vm)的组合数，有dp[i-1][sum -Vm]种; xn =2呢， dp[i-1][sum - 2 * Vm]种，等等。所有的这些情况加起来就是我们的dp[i][sum]。所以：

dp[i][sum] = dp[i-1][sum - 0*Vm] + dp[i-1][sum - 1*Vm] + dp[i-1][sum - 2*Vm] + … + dp[i-1][sum - K*Vm]; 其中K = sum / Vm

用数学公式表达就是：

可以发现，dp数组第i行的值总是依赖第i-1行的值，我们可以逐行求解该数组。初始情况下dp[0][i] = 0（不用任何钱币是换不了钱的）

上代码：

#include <iostream>#include <vector>using namespace std;int main() { int m,n; cin>>m>>n; vector<int> coins(n,0); for(int i = 0; i < n; i++) cin>>coins[i]; vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(m+1,0)); for(int i = 0; i <= n; i ++) dp[i][0] = 1; for(int i = 1; i <= n; i++){ for(int j = 1; j <= m; j++){ for(int k = 0; k <= j/coins[i-1]; k++){ dp[i][j] += dp[i-1][j - k * coins[i-1]]; } } } cout<<dp[n][m]<<endl; return 0;}