学霸讲堂丨动态规划

Posted 2021-04-18 常学习

动态规划

上次说到贪心有局限，

当只顾眼前利益最大化时，

我们有时得不到最优解，

这时需要用更高级的解题思想

——动态规划

动态规划

(DP，dynamic programming)

是运筹学的一个分支，是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。一般来说，需要用到动态规划思想时，是每一步都与前一步“环环相扣”，所以才看起来越多越无法一眼看清答案。

2019年一道高考数学题

（2019新课标Ⅰ卷, 21题）

本题被有的信息学奥赛选手（看昵称，oier，意指 Olympic Information -er后缀表人）评论为动态规划，并得到了众多赞同。

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然而，也有观点讨论说准确地说是递推，算DP的入门级难度

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动态规划真的如此神奇？

原理：

1

动态规划是什么？

动态规划是一类解题思想，即将一个问题（f(n)）拆解为若干组成部分(f(n-1)、f(n-2)、f(n-3)……f(n-m)，须为有限个)，并且上一步的答案(f(n-1))依赖于更前一步的步骤（f(n-2)、f(n-3)、f(n-4)……f(n-m-1)）。

2

什么时候用动态规划？

适用于动态规划的问题须具有3个性质：

（1）最优化原理：如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，就称该问题具有最优子结构，即满足最优化原理。

（2）无后效性：即某阶段状态一旦确定，就不受这个状态以后决策的影响。也就是说，某状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关。

（3）重叠子问题：即子问题之间是不独立的，一个子问题在下一阶段决策中可能被多次使用到。

3

怎样用动态规划？

一般来说，动态规划最关键的是找出迭代的关系式；在2019新课标Ⅰ卷, 21题中，

题干已经给出

结合题目

即可由此求解出

那么问题就回归到求解a、b、c的值。

此处不做展开，深入研究可参考以下解答

（【解析】2019年高考数学部分题解析【已完结】

https://zhuanlan.zhihu.com/p/68363392）

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其实很多数学的问题解起来很烧脑，因为数学的逻辑与我们的日常语言相差较大；数学中的点、线、面，数字、计算等讲究的不是兼容性，而是不矛盾性。但是生活中往往没有那么多非此即彼、非黑即白的分类，常常有“少糖”“中辣”“加冰”等灰色地带，继而引起大家对数学的惶恐。

动态规划来解一下不可用贪心算法解答的纸币题：

题目回顾：

若1元、5元、7元的纸币分别若干张，要用这些纸币凑出20元，至少要用多少张纸币？

用DP思想，应如下考虑：

如果凑0元，则最少0张；f(0)=0

如果凑1元，则最少1张；f(1)=1

如果凑2元，则最少2张；f(2)=2

如果凑3元，则最少3张；f(3)=3

如果凑4元，则最少4张；f(4)=4

如果凑5元，则最少1张；f(5)=min(f(5-1)+1,f(5-5)+1)

如果凑6元，则最少2张；f(6)=min(f(6-1)+1,f(6-5)+1)

如果凑7元，则最少1张；f(7)=min(f(7-1)+1,f(7-5)+1,f(7-7)+1)          

至此，得到通项公式——f(n)=min(f(n-1)+1,f(n-5)+1,f(n-7)+1)

翻译：当n≥7时，凑n元钱最少可用的纸币数，等于①n-1元最少纸币数+1、②n-5元最少纸币数+1、③n-7元最少纸币数+1的①、②、③三者中最小值。

如果凑8元，则最少2张；

如果凑9元，则最少3张；

……

凑20元，最少4张。

用DP思想时，为了得到n时的最值，须求得比n小的所有情况的最值。

 

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