动态规划--爬楼梯

Posted 2021-04-18 算法艺术

壹

摘要

爬楼梯是非常经典的面试问题，很多大公司都会将这个问题作为笔试的一部分，希望大家能深入理解，这个问题是LeetCode-70题，大家可以在LeetCode上找到更多相关问题，大家加油!

来源：力扣（LeetCode） 

链接：https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs

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贰

题目描述

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？ 

注意：给定 n 是一个正整数。 

示例 1：输入：2 输出：2

解释：有两种方法可以爬到楼顶。1. 走1个台阶+ 走1个台阶    2. 走2个台阶

示例 2：输入：3 输出：3

解释：有三种方法可以爬到楼顶。1.  走1个台阶+ 走1个台阶+ 走1个台阶     2.  先走1个台阶 + 再走2个台阶    3.  先走2个台阶 + 再走1个台阶 

叁

思路分析

因为每次可以走1个台阶或走2个台阶，要到达楼梯第n阶时，可以从第n-1阶向上再走1个到达n，也可以从第n-2阶再走2个台阶到达n

状态转移方程为:f(n) = f(n-1) + f(n-2)

肆

代码实现

1

记忆化递归

算法：

自顶向下 ，此递归算法在调用的过程会有很多重复计算的数据，导致计算的次数大大增加，从而消耗时间会很长。所以，可以把每一步f(n)计算的结果存储在 memo 列表 之中，每当函数再次被调用时，如果memo[n]有值，就直接从 memo 列表返回结果。这就实现了一个 剪枝 的过程，减少了递归调用次数。

class Solution: meno = [] def climbStairs(self, n: int) -> int: if n < 0: return 0 self.meno = [-1 for i in range(n+1)] return self.getStep(n) def getStep(self,n:int) -> int:        # 状态转移方程 f(n) = f(n-1) + f(n-2)  # 自顶向下 递归 # 程序结束条件 if n == 0 or n == 1: return 1 if self.meno[n] != -1: return self.meno[n] res = self.getStep(n-1) + self.getStep(n-2) self.meno[n] = res return res

复杂度分析：

时间复杂度： O(n) ，树形递归的大小可以达到 n 。

空间复杂度： O(n) ，使用了空间大小为n的memo列表记录结果。

2

动态规划

算法：

自低向上，可以被分解为一个最优子问题

动态转移方程：dp[n]=dp[n−1]+dp[n−2]

class Solution:  def climbStairs(self, n: int) -> int: if n < 0:            return 0 # 自低向上 动态规划 memo = [-1 for i in range(n+1)] memo[0] = 1 memo[1] = 1 for i in range(2,n+1): memo[i] = memo[i-1] + memo[i-2] return memo[n]

复杂度分析：

时间复杂度： O(n) ，只用了一个for循环，从 2 到 n+1。

空间复杂度： O(n) ，使用了空间大小为n的memo列表记录结果。

3

斐波那契数

算法：

上面我们用了n个空间来保存计算出来的结果，但是我们只需要爬到第n阶楼梯共多少种方法，只保存一个数字即可，因此我们只需开辟常数级的空间保存几个变量。

class Solution:  def climbStairs(self, n: int) -> int: if n < 0: return 0        # 自低向上 动态规划        first = 1        second = 1        thrid = -1 for i in range(2,n+1):            thrid = first + second            first = second            second = thrid         return second

复杂度分析：

时间复杂度： O(n) ，只用了一个for循环，从 2 到 n+1。

空间复杂度： O(1) ，使用了常数空间，保存3个临时变量。

4

斐波那契公式

算法：

我们可以根据数学归纳法，对状态转移方程进行推导，得出数学公式。

令f(n)=a^n，所以f(n+1) = a^(n+1),f(n+2) = a^(n+2)，转化f(n+1) = a * a^n，f(n+2) = a^2 * a^n。

由状态方程得:

        a^2 * a^n = a * a^n + a^n

两边都除以a^n，并移项得：

        a^2 - a - 1 = 0    

解方程得:

        a1 = 1/sqrt(5) * ((1+sqrt(5)) / 2)

        a2 = 1/sqrt(5) * ((1-sqrt(5)) / 2)

所以一般形式为：

f(n) = 

    1/sqrt(5)*{ [ (1+sqrt(5)) / 2 ]^(n+1)- [ (1-sqrt(5)) / 2 ]^(n+1) }

class Solution:  def climbStairs(self, n: int) -> int: if n < 0: return 0        sqrt5 = sqrt(5)        fibn = pow((1+sqrt5)/2,n+1) - pow((1-sqrt5)/2,n+1)        res = fibn / sqrt5 return res

复杂度分析：

时间复杂度： O(log(n))， pow 方法将会用去 log(n) 的时间。

空间复杂度： O(1) ，使用了常数空间。

The End

最后给大家留两个思考问题：

        1.如果 每次可以爬  1  ， 2  或者 3 个台阶，应该怎么实现

        2 .如果 每次可以爬  1  ， 2...  或者 k 个台阶，k < n,应该怎么实现

一个问题的解决方法有很多，可以在时间和空间上进行优化，此问题还有更多解法，欢迎私信我，一起讨论，大家加油！