动态规划详解

Posted 2021-04-18 前端末班车

什么是动态规划问题？

为了求出f(n)，只需要知道几个更小的f(c)。我们将求解f(c)称作求解f(n)的“子问题”

动态规划的核心？

记住求解过的子问题的解

动态规划的特性

1. 重叠子问题

2. 最优子结构性质：问题的最优解由相关子问题的最优解组合而成，而这些子问题可以独立求解。

解决动规问题的套路？

过程：递归的暴力解法 -> 带备忘录的递归解法 -> 非递归的动态规划解法

状态转移方程怎么得出？

参考思路：明确「状态」 -> 定义 dp 数组/函数的含义 -> 明确「选择」-> 明确 base case

问题一：斐波那契数列

最基本的递归算法相信大家都可以背出来了，但很快就会发现其存在了大量的重复计算（重叠子问题）；优化版本通常是通过创建一个数组用于记录计算过的f(n)，即带备忘录的递归；但此时仍然是自顶而下的，一般来说由于备忘录方式的动态规划方法使用了递归，递归的时候会产生额外的开销；而使用自底向上的动态规划解法要比备忘录方法更进一步，然后也就有了状态转移方程。

斐波那契数列的问题，何通过「备忘录」或者「dp table」的方法来优化递归树，区别只是自顶向下和自底向上的不同而已。

问题二：凑零钱

简述：有 k 种面值的硬币，面值分别为 c1, c2 … ck，每种硬币的数量无限。为了凑出总金额 amount 最少需要几枚硬币，若不能则返回 -1。

比如 amount=11, coins={1,2,5}。用暴力递归的方式可以尝试自顶向下画一个三叉树，然后找到满足 amount 的最小路径也就是最少的硬币数。此时差不多就可以写出递归算法了，进而优化递归树，消除重叠子问题。详细过程还是看原文吧……

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