动态规划阐述-2

Posted 2021-04-18 编程男孩

前一篇讲到了动态规划的还有一个特性叫做： 最优子结构。如果一个给定问题的最优解包括了其子问题的最优解，那我就说这个问题具有最优子结构。当然我们也可以换个说法，如果存在某个问题Q，它的最优解是A，如果我们在计算A的时候，Q的子问题的最优解也同时被找到，那可以说Q具有最优子结构。

具体如何发现或者说证明一个问题最优最优子结构，我还没发现一个万能公式可以套用，后面我们讲到0-1背包问题时候，可以具体针对0-1背包问题推理一下。现在我们先来看下反例，就是看看哪些问题是没有最优子结构的。

先看一个书本上的经典例子：

上面是一个无权有向图，我们要求  q 到  t 的一条最长简单路径，通过观察我们可以发现  q->r->t 是一条  q 到  t 的最长简单路径，但这个问题的子问题（ r 到  t 的最长简单路径）的最优解并不是  r->t，而应该是  r->q->s->t。所有这个问题并不具有最优子结构。  

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再看看另一个例子：

假设我们以左下角作为起点，右上角为终点，如果要让路径经过的区域里的数字加起来最大

我们可以找到图中绿色这条路径的数值加起来最大，最大值是3。可以验证一下，这条路径上的任意一点，从起点到该点的最优路径也是绿色这条路径上的一部分，这就满足了最优子结构。但如果我们改一下我们的目标解，我们想要路径经过的区域里的数值求和的绝对值最小。我们找到的最佳路径是下图黄色这条。

但对于这条路径上的 -4 这个点，从起点到它的满足求和后绝对值最小的最优解，显然不是黄色路径标志的这条（求和后绝对值为1）：

此时的最优解应该是下面蓝色这条路径（求和后绝对值为0）：

所以，对于找到一条“求和的绝对值最小”路径这个问题，它并不满足“最优子结构”。我们可以看到一般情况下，如果是求最值问题，一般都可以考虑DP算法，但如果是这种奇怪的绝对值最值问题，那就好重新考虑一下适不适合DP算法了。