基础一叶知秋，从背包问题到动态规划

Posted 2021-04-18 信息学竞赛从入门到巅峰

之前我们讲解了几种典型背包问题的问题模型和解决方法。

其实，背包问题只是动态规划问题（简称DP）的冰山一角。动态规划还包含众多类型，有的问题甚至需要数据结构维护，是信息学竞赛中的一个难点，更是一个重点。

今天，我们通过对背包问题的总结，来讲解一下动态规划的基本思路。

首先，解决动态规划问题的基本步骤有：设置状态、枚举子问题，更新答案。

我们以01背包作为例子：

设置状态

设置状态的关键在于找到我们的目标和哪些自变量有关系，只要把这些自变量加入到状态中即可。

在这个问题中，我们要求解最大价值，考虑如何设置状态。

显然，答案（即最大价值）和每一件物品是否选择、已用背包容量有关。那么，状态的设置就要和这些要素有关。

由于答案和两个因素有关，我们很容易就能想到状态应该是一个二维的数组，一维表示当前处理的物品，一维表示已用背包容量。

枚举子问题

子问题的枚举要做到不重不漏。

根据设置的状态，枚举当前解决的这个小问题要从哪些更小的问题转移而来。

在01背包的问题中，我们设置了f[i][j]表示前i个物品，占用了j的空间所能达到的最大价值。

那么，我们考虑，处理第 i 个物品的时候，它的子问题显然是处理 i-1 个物品。

接着，处理占用容量为 j 时，它的子问题显然是处理容量为 j-c[i]（表示选了第i个物品）和j（表示没选第i个物品）。

我们结合以上两个方面，可以找到处理 f[i][j] 的子问题是（f[i-1][j-c[i]]）和（f[i-1][j]）。

更新答案

在设置好状态，并找到子问题之后，就来到了DP的重头戏，更新答案，也就是设置动态转移方程。

在转移的时候，我们要思考子问题与父问题之间的关系，是取max？还是相加减？还是其他操作。

在上述例子中，由于我们要求最大价值，那么显然是用两个子问题的最大值来更新父问题。这样就能得出转移方程。

f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - c[i]] + w[i])

接下来，我们介绍一下动态规划的适用范围。

无后效性。

无后效性是什么意思呢？

简单来说，就是父问题的决策不会对子问题的决策造成影响。

以01背包为例，无后效性是指不管第 i 个物品选或不选，都不会影响到前 i-1 个物品所做出的决策。换句话说，就是不管第i个物品选或不选，不会对f[0...(i-1)][0...V]的值产生影响。

局部最优与全局最优

另一个要求是局部最优解能推出全局最优解。

这句话应该很好理解。我们用f[i-1][j-c[i]]和f[i-1][j]的值来求解f[i][j]的值，这就是通过局部最优解来推算全局最优解。

这个概念也经常用于贪心算法之中，也是类似的意思。

在接下来的文章中，我会分不同类型再深入讲解动态规划问题，以加强大家对动态规划问题的理解。

内容下至基础编程，上至算法数据结构。

喜欢就关注吧。

往期回顾

关于热点评论的传送门：

关于动态规划的传送门：

收藏 | 背包问题，一些你不知道的小技巧