动态规划求解手机耐摔指数分析

Posted 2021-04-18 李伟林老师的教学测试号

           

相传银河系一颗X星球

X星球的居民脾气不太好，他们生气的时候异常举动是：摔手机。

各大厂商对此纷纷推出各种耐摔型手机，x星球的质监局规定了手机必须经过耐摔测试，并且评定出一个耐摔指数来之后才允许上市流通。

X星球有很多高耸入云的高塔，刚好可以用来做耐摔测试。塔的每一层高度都是一样的，与地球上稍有不同的是，他们的第一层不是地面，而是相当于我们的2楼。

如果手机从第7层扔下去没摔坏，但第8层摔坏了，则手机耐摔指数=7。

特别地，如果手机从第1层扔下去就坏了，则耐摔指数=0。

以此类推，如果到了塔的最高层第n层扔没摔坏，则耐摔指数=n。

为了减少测试次数，每个厂家抽样3部手机参加测试。

某次测试的塔高为1000层，如果我们总是采用最佳策略，在最坏的运气下最多需要测试多少次才能确定手机的耐摔指数呢？

     这多简单，爬楼梯去了...

——莫激动，我们先来帮他们设个未知数 ——

假设待求的最多需要测试次数为i，把问题转向求可以测试的最大楼层数。

为了分析问题，我们先将问题的规模设定为1台手机。毋庸置疑，只有1台手机的情况下应该从第1层向高层逐层摔，若在第k（1≤k≤n）层摔坏则其耐摔指数为k，若没摔坏则继续在k+1层（若存在）摔。由此可见，其最大测试次数i就是楼层总层数，记为: m(i)=i，m是1台手机可测的楼层总数。

接下来将规模扩大到2台手机。第1台手机采用最佳策略选择在第k层摔下（无需理会具体的策略是什么），分两种情况：

情况一：如果摔坏了，则剩下1台手机，只能从1层向k-1层逐层摔，这样就将问题的规模从2台手机测试i次减少到1台手机测试i-1次的规模了，即相当于上述1台手机还有最多i-1次摔的机会，其楼层数记为：m(i-1)=i-1

情况二：如果没摔坏，则仍有2台手机继续用剩余的最多i-1次摔的机会，同样将问题的规模从最多摔i次减少为i-1次，从k+1层起向上采用最佳策略摔，楼层数记为:mm(i-1)，其中mm代表2台手机摔i-1次的楼层数，则2台手机摔i次的楼层总数记为：

mm(i)=m(i-1)+1+mm(i-1)=i-1+1+mm(i-1)=mm(i-1)+i          ①

其中式中的1代表第k层，如下图所示：

3台手机的情况与2台手机情况类似：当采用最佳策略在第k层将第1台手机摔下，分两种情况：

情况一：如果摔坏了，则将问题的规模从3台手机最多摔i次减少为2台手机最多摔i-1次，楼层数记为：mm(i-1)，正好是上一阶段的结果。

情况二：如果没摔坏，则将问题的规模从3台手机最多摔i次减少为3台手机最多摔i-1次，楼层数记为：mmm(i-1)。

所以，3台手机最多摔i次的楼层总数为：

mm(i)=mm(i-1)+1+mmm(i-1)    ②

同样，上式中的1为第k层。如下图：

上述①、②式是我们动态规划分析的结果，将问题规模缩小为子问题，子问题之间存在先续后继关系（例如，上述①式mm(i-1)是②式的子问题）。下面我们用Java语言来实现这个限定函数值mmm（代表楼层高度）来求解变量i（最大测试次数）的代码，即mmm(i)=1000时i的值（请结合注释）：

当我们输入1000时，输出结果19，即为正解。

到这里，基本就结束了。

  【小结】

上述解法采用了计算机算法设计中典型的动态规划算法，其核心思想是将复杂的大规模问题划分为简单的小规模问题，从而一步步求得最优解。 与一般的分治系统不同，一般适合于用动态规划求解的问题，经分解得到的子问题往往不是互相独立的，即下一个子阶段的求解都是建立在上一个子阶段求解的基础上的。（ 李伟林2019-12-18）