动态规划法解通配符匹配算法题

Posted 2021-04-18 算讯息

动态规划在维基上的解释是：动态规划（英语：Dynamic programming，简称DP）是一种在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学中使用的，通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。

在编程中，动态规划通常用来优化递归问题。举例说明（例题来自力扣第44题）：

通配符匹配：
给定一个输入字符串（s）和一个模式（p），实现通配符模式匹配并支持'?' 和'*'。
'?' 匹配任何单个字符。'*'匹配任何字符序列（包括空序列）。匹配项应覆盖整个输入字符串（而非部分）。
s可以为空，并且仅包含小写字母a-z。p可以为空，并且仅包含小写字母a-z和?及*两种字符。
例1：输入:s ="aa"p ="a"输出:false说明:"a"与整个字符串"aa"不匹配
例2:输入：s ="adceb"p ="*a*b"输出：true说明：第一个"*"匹配空串，而第二个"*"匹配子串"dce"。
例3:输入：s ="acdcb"p ="a*c?b"输出：false说明："?"只能匹配单个字符，不能匹配"dc"或者空串。

看到这题目，首先想到的是，java.util.regex.Pattern类：

 public boolean isMatch(String s, String p) { return java.util.regex.Pattern.matches(p, s);    }

但是很遗憾，java.util.regex.Pattern的匹配里，p字符串的首字符不能是'*'，也不支持连续"**"这样的模式匹配。

其次比较容易想到的是用递归的方法：

 public boolean isMatch3(String s, String p) { if("*".equals(p)) return true; if(p.isEmpty()) return s.isEmpty(); if(p.charAt(0) == '*') { if(s.isEmpty() || p.charAt(1) == '*') { return isMatch3(s, p.substring(1)); } else { return isMatch3(s, p.substring(1)) || isMatch3(s.substring(1), p); } } else if(s.isEmpty()) { return false; } else if(p.charAt(0) == '?' || p.charAt(0) == s.charAt(0)){ return isMatch3(s.substring(1), p.substring(1)); }
 return false;    }

第1行，如果p只剩下全匹配符，那就是true了；

第2行，如果p剩下空串了，那么如果s也空串，就是true，否则就是false；

第10行，当p不是'*'开头的字符串，而s已经是空串，那么就是false;

第12行，如果当p为'?'开头时，或者p的首字符和s的首字符相同，那么是否匹配，就要看p和s除掉首字符后是否匹配，这就是一个递归；

当p的首字符是'*'，情况就比较复杂：

     第5行，如果s是空串，或者p的第二个字符也为'*'时，就看p除掉首字符后是否与s匹配；

     '*'可以匹配空串，所以如果p除掉首字符'*'，剩余的与s匹配，说明匹配，另一种情况就是'*'可以匹配任意字符，那么把s串的字符一个一个去除，看p是否可以与其匹配，如果这种情况出现也说明匹配；这两种情况只要其中一种能匹配，那么整个就是匹配的，所以第8行是两个递归函数取或；

如果以上情况都不符合，自然就是不匹配了。

这函数虽然在部分情况下能验证s和p的匹配情况，但是这个算法的时间复杂度太大，假设s的长度为m，p的长度为n，那复杂度最糟情况有m平方*n平方。如果s和p太长了，比如：

 String s = "abbabaaabbabbaababbabbbbbabbbabbbabaaaaababababbbabababaabbababaabbbbbbaaaabababbbaabbbbaabbbbababababbaabbaababaabbbababababbbbaaabbbbbabaaaabbababbbbaababaabbababbbbbababbbabaaaaaaaabbbbbaabaaababaaaabb"; String p = "**aa*****ba*a*bb**aa*ab****a*aaaaaa***a*aaaa**bbabb*b*b**aaaaaaaaa*a********ba*bbb***a*ba*bb*bb**a*b*bb";

这种情况下，这个递归最终是无法归来。

所以，用DP来优化递归问题就很必要。为了更好的理解之后的程序，先基于字符串如果匹配从头开始与从尾部开始都应该匹配这个事实，改写一下上面的程序：

    public boolean isMatch2(String s, String p) { if("*".equals(p)) return true; if(p.isEmpty()) return s.isEmpty();        int m = s.length(), n = p.length(); if(p.charAt(n-1) == '*') { if(s.isEmpty() || p.charAt(n-2) == '*') {                return isMatch2(s, p.substring(0,n-1)); } else {                return isMatch2(s, p.substring(0,n-1)) || isMatch2(s.substring(0,m-1), p); } } else if(s.isEmpty()) { return false; } else if(p.charAt(n-1) == '?' || p.charAt(n-1) == s.charAt(m-1)){            return isMatch2(s.substring(0,m-1), p.substring(0,n-1)); }
 return false; }

最后的字符串是否匹配，除了最后字符的比较，也取决于最后字符之前的比较，如果最后的字符是匹配的，那么只要之前的字符串都是匹配的，整个字符串就是匹配的。

有了之前的递归思想，那么DP算法就很容易理解了。

先贴出程序，再来解释：

 public boolean isMatch(String s, String p) { boolean[][] dp = new boolean[s.length()+1][p.length()+1]; dp[0][0] = true; for (int i = 0; i < p.length(); i++) { if (p.charAt(i) == '*') { dp[0][i + 1] = dp[0][i]; } }  for(int i = 0; i < s.length(); i++) { for(int j = 0; j < p.length(); j++) { if(p.charAt(j) == '?' || p.charAt(j) == s.charAt(i)) { dp[i + 1][j + 1] = dp[i][j]; } if(p.charAt(j) == '*') { dp[i + 1][j + 1] = dp[i + 1][j] || dp[i][j + 1]; } } }
 return dp[s.length()][p.length()]; }

    dp[i][j]标志一个状态，表示s字符串前i长度的子字符串和p字符串前j长度的子字符串的匹配情况。（JAVA的序列从0开始，i长度即为charAt(0)到charAt(i-1)的长度）

    dp[0][0]标志的就是当s为空串，p也为空串时的状态，这时的状态是匹配的，所以第4行dp[0][0]赋值为true;

    当p为空串，s不为空时，肯定都是不匹配的，即dp[i][0]都为false。boolean变量在java里的默认值就是false，所以就无需赋值了；

     而当s为空串，p不为空时，是否匹配要看'*'字符之前是否是匹配的，所以，对dp[0][j]进行初始赋值。第4到8行，对这个初始状态进行赋值。意即当s为空串时，如果p都是由'*'组成的字符串，那么是匹配的，如果有某一个字符不是'*'时，从那个字符开始，之后的都不匹配了（当然最终结果也是不匹配）。

      s字符串前i+1的长度的子串是否和p字符串前j+1长度的子串是否匹配，就取决于字串最后一个字符的比较，以及之前子串是否匹配的情况，程序第10-19行就是处理这种情况：

• 当p子串的最后一个字符为'?'或者与s子串的最后一个字符相同时，最终是否匹配，就取决于i长度的s子串和j长度的p子串是否匹配，即dp[i + 1][j + 1] = dp[i][j];

• 当p子串最后一个字符为'*'时，因为p可以匹配任意字符串或者空串，所以只要是i+1长度的s子串与j长度的p子串匹配，或者是i长度的s子串与j+1长度的p子串匹配就可以了，即dp[i + 1][j + 1] = dp[i + 1][j] || dp[i][j + 1];

• 如果都不是，自然就不匹配，但boolean变量默认为false，无需处理。

    最终dp[][]的最后一个元素就是总体两个字符串是否匹配的最终结果了。其实这也是isMatch2这个递归方法的拆解倒推，只不过用了状态数组来标志已经对比过的子串，减少了很多重复的递归计算，所以把时间复杂度减少到了O(mn)。

点击阅读全文可以获取程序的源码。https://github.com/yangmingxuan/algorithmicexamples

这个项目目前上传了上百个算法题程序源码，每周末会更新（争取）。有兴趣的朋友可以共同探讨。