干货4大解题套路，从此动态规划so easy

Posted 2021-04-18 九章算法

九章算法《动态规划专题》金牌讲师

清华大学全国算法竞赛金牌，ACM国际大学生程序设计竞赛全球总决赛选手，FLAG资深面试官。

动态规划题目类型多，难度高，没有固定模板，死记硬背没用。

作为大厂高频面试题，动态规划问题的识别与解决一直是难点所在，往往也是决定面试成功与否的最终关卡。

不过不用怕，我总结了解决动态规划类问题的4步套路，分享给大家。

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4步套路，解决动态规划问题

1、确定问题状态

     - 提炼最后一步

     - 子问题转化

2、转移方程，把问题方程化

3、按照实际逻辑设置初始条件和边界情况

4、确定计算顺序并求解

结合实例感受下。

你有三种硬币，分别面值2元，5元和7元，每种硬币都有足够多。买一本书需要27元。如何用最少的硬币组合正好付清，不需要对方找钱？

关键词“用最小的硬币组合正好付清”——“最小的组合”，求最值问题，动态规划。

正常人第一反应思路:

最少硬币组合?

优先使用大面值硬币——7+7+7+5=26 额？可求解目标是27啊……

改算法——7+7+7+2+2+2=27，总共用了6枚硬币正好27元.

实际正确答案：7+5+5+5+5=27，才用了5枚硬币。

所以这里贪心算法是不正确的。

套路用起来。

第一步，确定问题状态。

动态规划问题求解需要先开一个数组，并确定数组的每个元素f[i]代表什么，就是确定这个问题的状态。

类似于解数学题中，设定X，Y，Z代表什么。

A、确定状态首先提取【最后一步】

最优策略必定是K枚硬币a1, a2,…, aK 面值加起来是27。

找出不影响最优策略的最后一个独立角色 ，这道问题中，那枚最后的硬币“aK”就是最后一步。

把aK提取出来， 硬币aK之前的所有 硬币面值加总是27- aK

因为总体求最硬币数量最小策略，所以拼出27- aK 的硬币数也一定最少（重要设定）。

B、转化子问题。

最后一步aK提出来之后，我们只要求出“最少用多少枚硬币可以拼出27- aK”就可以了。

这种与原问题内核一致，但是规模变小的问题，叫做子问题。

为简化定义，我们设状态f(X)=最少用多少枚硬币拼出总面值X。

我们目前还不知道最后的硬币aK面额多少，但它的面额一定只可能是2/5/7之一。

如果aK是2，f(27)应该是f(27-2) + 1 (加上最后这一枚面值2的硬币）

如果aK是5，f(27)应该是f(27-5) + 1 (加上最后这一枚面值5的硬币）

如果aK是7，f(27)应该是f(27-7) + 1 (加上最后这一枚面值7的硬币）

除此以外，没有其他的可能了。

至此，通过找到原问题最后一步，并将其转化为子问题。

为求面值总额27的最小的硬币组合数的状态就形成了，用以下函数表示：

f(27) = min{f(27-2)+1, f(27-5)+1, f(27-7)+1}

第二步，转移方程，把问题方程化。

f[X] = min{f[X-2]+1, f[X-5]+1, f[X-7]+1}

（动态规划都是要开数组，所以这里改用方括号表示）

实际面试中求解动态规划类问题，正确列出转移方程正确基本上就解决一半了。

但是请问：这与递归有什么不同？？

递归的解法：

     
       
       
     

      
        
        
      // f(X)返回最少用多少枚硬币拼出X 
      
        
        
      int f(int X) { 
      
        
        
       // 0元钱只要0枚硬币 
      
        
        
       if (X == 0) return 0; 
      
        
        
       // 初始化用无穷大（为什么是正无穷？） 
      
        
        
       int res = MAX_VALUE; 
      
        
        
       // 最后一枚硬币是2元
      
        
        
       if (X >= 2) {
      
        
        
       res = Math.min(f(X – 2) + 1, res); 
      
        
        
       }
      
        
        
       // 最后一枚硬币是5元
      
        
        
       if (X >= 5) {
      
        
        
       res = Math.min(f(X – 5) + 1, res); 
      
        
        
       }
      
        
        
       // 最后一枚硬币是7元
      
        
        
       if (X >= 7) { 
      
        
        
       res = Math.min(f(X – 7) + 1, res); 
      
        
        
       }
      
        
        
       return res;
      
        
        
      }
     
       
       
     

执行图如下：

要算f(27)，就要递归f(25)、f(22)、f(20)，然后下边依次递归……（三角形表示）。

问题明显——重复递归太多。

这是求f(27)，还可以勉强递归。如果求f(100)呢？简直是天文数字。最终结果就是递归超时。

求总体最值，一定优先考虑动态规划

不要憨憨的去递归。

插入一下~

需要掌握的动态规划面试解题技巧还包括坐标型、位操型、序列型、博弈型、背包型、双序列以及一些高难面试题解。

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