动态规划解最长子序列子串等一类问题之让字符串成为回文及其Follow Up[Sika Deer]

Posted 2021-04-18 阿飞算法

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这是个好题目

0.源起

1.Step1

源问题，如上图，让字符串成为回文串的最少插入次数

定义状态

• n为str的长度，dp[n][n]是一张二维表

• 定义:dp[i][j]表示的是子串str[i][j]最少添加多少字符可以使其整体变成一个回文，注意，是最少

• 要求的结果是dp[0][n-1]表示的是str[0…n-1]也就是这个字符从开头到结尾，要想形成回文，最少的添加字符的个数

问题来了，如何填写这张dp table呢？

• 分三大类讨论

• 1.str[i…j]只有一个字符，即i==j，如图，str[i…j]=A，一个字符要形成回文，很简单，不要向其增加字符，即其本身可以形成回文,即dp[i][j]=0

• 2.str[i…j]有两个字符

• 2.1，当str[i]==str[j]，即两个字符相同时，其与场景1的情况一样，例如，AA不需要添加字符，即可使其成为回文，即dp[i][j]=0

• 2.2，当str[i]!=str[j],即两个字符不同时，例如，AB，可以在前面加一个B，变成BAB，也可以在后面加一个A，变成ABA，总之是只要添加一个字符，即可使其变成回文，即dp[i][j]=1

• 3.str[i…j]有三个或者三个以上字符，这就属于一般的情况了

• 3.1.当str[i]==str[j]时，例如，ABDCA，只需要考虑BDC，也即要求dp[i][j],转化为求dp[i+1][j-1]，只要搞定str[i+1…j-1]部分，使其变成回文，再加上str[i]与str[j]，整体就变成回文了，即转移方程：dp[i][j]=dp[i+1][j-1]

• 3.2.当str[i]!=str[j]时，有两种方法使其变成回文，一种是先让str[i…j-1]变成回文，在i的左边添加str[j]，整体就会变成回文，例如ABECD，可以先考虑ABEC这部分，一个方案是ABECEBA，再在ABECEBA左边加上str[j],即D,带上源字符的D,变成了DABECEBAD；另外一种方案，同理，先让str[i+1…j]变成回文，最后在右边加上str[i]，最终变成了整体回文，那么，动态转移方程式什么呢？

• 要想使str[i…j-1]变成回文，其最少的添加次数是dp[i][j-1]，再加上往左侧补的字符，最终应该是dp[i][j-1]+1

• 同理可得，dp[i+1][j]+1

• dp[i][j]=min(dp[i][j-1],dp[i+1][j])+1

核心代码

• 生成dp table的代码，注意遍历时，综合考虑了以上分析的三种情况

• 下文中需要使用到这个buildDP,做个一个抽离

public int[][] buildDP(char[] chas) {
        // `dp[i][j]`表示子串`str[i...j]`范围内的最少添加多少个字符后，可以形成回文子串
        int n = chas.length;
        int[][] dp = new int[n][n];
        for (int j = 1; j < n; j++) {
            dp[j - 1][j] = (chas[j - 1] == chas[j]) ? 0 : 1;
            for (int i = j - 2; i >= 0; i--) {
                if (chas[i] == chas[j]) dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1];
                else dp[i][j] = Math.min(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]) + 1;
            }
        }
        return dp;
    }

整体代码

    public int minInsertions(String s) {
        int[][] dp = buildDP(s.toCharArray());
        return dp[0][s.length() - 1];
    }

复杂度分析

• 时间复杂度：O(N^2)，N是字符的长度

• 空间复杂度：O(N^2)，dp表的空间

2.Step2

题目

给定一个字符串str，如果可以在str的任意位置添加字符，请返回在添加字符最少的情况下，让str整体都是回文字符串的结果。

• 这个问题比Step1的问题多了一步，要求返回一种使其变成整体回文的结果，例如，源字符AB,返回一种添加最少字符，使其变成回文的一种方案，返回ABA或者BAB均可

解题思路

• 准备一个res数组，长度是字符s本身的长度+dp[0][n-1]

• 运用双指针的想法，给res填充字符

• 当str[i]==str[j]时，res直接追加即可

• 当str[i]!=str[j]时，需要找到一个最少添加字符的方案

• 当`dp[i][j - 1] < dp[i + 1][j]`时，即最终在生成字符的时候，在左侧填充一个`str[j]`

• 当`dp[i][j - 1] >= dp[i + 1][j]`时，即最终在生成字符的时候，在右侧填充一个`str[i]`

整体代码

public String getPalindromeI(String s) {
        char[] chas = s.toCharArray();
        int n = chas.length;
        int[][] dp = buildDP(chas);
        int appendLen = dp[0][n - 1];
        char[] res = new char[n + appendLen];
        int i = 0, j = n - 1;
        int left = 0, right = res.length - 1;
        while (i <= j) {
            if (chas[i] == chas[j]) {
                res[left++] = chas[i++];
                res[right--] = chas[j--];
            } else {
                if (dp[i][j - 1] < dp[i + 1][j]) {
                    res[left++] = chas[j];
                    res[right--] = chas[j--];
                } else if (dp[i][j - 1] >= dp[i + 1][j]) {
                    res[left++] = chas[i];
                    res[right--] = chas[i++];
                }
            }
        }
        return String.valueOf(res);
    }

复杂度分析

• 时间复杂度：O(N^2)，N是字符的长度，求res的过程是O(N),总体是O(N^2)

• 空间复杂度：O(N^2)，dp表的空间

3.Step3

给定一个字符串str，再给定str的最长回文子序列字符串strlps，请返回在添加字符最少的情况下，让str整体都是回文字符串的一种结果。进阶问题比原问题多了一个参数，请做到时间复杂度比原问题的实现低

举例：

str="A1B21C"，strlps="121"，返回"AC1B2B1CA"或者"CA1B2B1AC"，总之，只要是添加的字符数最少，只返回其中一种结果即可

题目分析

• 这个问题是给出了一个seed字符，生成最少添加字符形成回文后的其中一种结果

解题思路

运用剥洋葱的方式去解决

• str的长度为n，strlps的长度为m,形成回文res的结果是2*n-m ，因为m部分已经是回文了，不需要额外添加

• 以str=A1BC22DE1F,strlps=1221为例

• 洋葱的第0层是由strlps[0]与strlps[m-1]，组成，即1…1，从str的最左侧开始找，一直找到strlps[0]=1的字符为止，记为leftPart，为A,接着从str的最右侧开始找，一直找到strlps[m-1]=1的字符为止，记为rightPart，为F，

• 将leftPart+rightPart的逆序，复制到res的左侧

• 将rightPart+leftPart的逆序，复制到res的右侧

• 结果变成了AF……FA

• 在加上strlps,变成了AF1……1FA

• 洋葱进入第1层，即2…2,接着第一层的位置找str,leftPart为BC，rightPart为DE，

• 将leftPart+rightPart的逆序，复制到res的左侧

• 将rightPart+leftPart的逆序，复制到res的右侧

• 结果变成了BCED……DECB

• 在加上strlps,变成了BCED2……2DECB

• 加上上一层，变成了AF1BCED22DECB1FA

• 洋葱进入第n层。。。

• 代码部分注释掉了一部分，将resLeft = 0, resRight = 0;定义为全局变量，好理解些

• 整体实现逻辑是双指针，游走，不过左右指针有很多对，嗯，只能是，细节是魔鬼啊

整体代码

//res array 的左右指针，定义为全局变量
    int resLeft = 0, resRight = 0;

    public String getPalindromeII(String str, String strlps) {

        char[] chas = str.toCharArray();//str 目标字符串
        char[] lps = strlps.toCharArray();//base 字符串
        int n = chas.length, m = lps.length;//len
        char[] res = new char[2 * n - m];//res字符串 arr
        int chasLeft = 0, chasRight = n - 1;//str 的左右指针
        int lpsLeft = 0, lpsRight = m - 1;//base 的左右指针
        resRight = res.length - 1;
        int tmpLeft = 0, tmpRight = 0;//tmp 左右指针
        while (lpsLeft <= lpsRight) {//循环遍历lps字符
            tmpLeft = chasLeft;
            tmpRight = chasRight;
            while (chas[chasLeft] != lps[lpsLeft]) chasLeft++;//如果lpsLeft在chas未出现,一直chasLeft++
            while (chas[chasRight] != lps[lpsRight]) chasRight--;//如果lpsRight在chas未出现,一直chasRight--
            build(res, chas, chasLeft, chasRight, tmpLeft, tmpRight);//组装
//            int len = chasLeft - tmpLeft + tmpRight - chasRight;
//            resLeft += len;
//            resRight -= len;
            res[resLeft++] = chas[chasLeft++];//添加当前的lpsLeft ==lpsRight对于的字符串
            res[resRight--] = chas[chasRight--];//添加当前的lpsLeft ==lpsRight对于的字符串
            lpsLeft++;//进入下一轮
            lpsRight--;
        }
        return String.valueOf(res);
    }

    /**
     * @param res       结果arr
     *                  //     * @param resLeft
     *                  //     * @param resRight
     * @param chas      str arr
     * @param chasLeft  str arr left pointer
     * @param chasRight str arr right pointer
     * @param tmpLeft   tmp left pointer
     * @param tmpRight  tmp right pointer
     */
    private void build(char[] res,
                       char[] chas, int chasLeft, int chasRight,
                       int tmpLeft, int tmpRight) {

        for (int i = tmpLeft; i < chasLeft; i++) {
            res[resLeft++] = chas[i];
            res[resRight--] = chas[i];
        }
        for (int j = tmpRight; j > chasRight; j--) {
            res[resLeft++] = chas[j];
            res[resRight--] = chas[j];
        }
    }

Reference

• 程序员代码面试指南

本文完

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