leectcode 动态规划5.最长回文子串

Posted 2021-04-18 遍地自习

题目:

https://leetcode-cn.com/problems/longest-palindromic-substring

5.最长回文子串

给定一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。你可以假设 s 的最大长度为 1000。

示例 1：

输入: "babad"

输出: "bab"

注意: "aba" 也是一个有效答案。

示例 2：

输入: "cbbd"

输出: "bb"

代码：

class Solution {public: string longestPalindrome(string s) { int n = s.size(); vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n)); string ans; for (int l = 0; l < n; ++l) { for (int i = 0; i + l < n; ++i) { int j = i + l; if (l == 0) { dp[i][j] = 1; } else if (l == 1) { dp[i][j] = (s[i] == s[j]); } else { dp[i][j] = (s[i] == s[j] && dp[i + 1][j - 1]); } if (dp[i][j] && l + 1 > ans.size()) { ans = s.substr(i, l + 1); } } } return ans; }};

解释:

       留意二维数组容器的初始化方式；学习官方代码中将状态边界初始化和状态转移方程合并的书写方式，算法笔记中讲解的回文子串方式的第一种与其类似，也是O（n^2）复杂度；官方和算法笔记都有两种进阶版的。所以常用的最长回文子串可以说有三种。

方法一：动态规划

       对于一个子串而言，如果它是回文串，并且长度大于 22，那么将它首尾的两个字母去除之后，它仍然是个回文串。例如对于字符串 “ababa”，如果我们已经知道“bab” 是回文串，那么“ababa” 一定是回文串，这是因为它的首尾两个字母都是“a”。

根据这样的思路，我们就可以用动态规划的方法解决本题。我们用P(i,j) 表示字符串 s 的第 i 到 j 个字母组成的串（下文表示成s[i:j]）是否为回文串：

这里的「其它情况」包含两种可能性：

s[i,j] 本身不是一个回文串；

i>j，此时s[i,j] 本身不合法。

那么我们就可以写出动态规划的状态转移方程：

P(i, j) = P(i+1, j-1)∧(Si==S j )

也就是说，只有s[i+1:j−1] 是回文串，并且s 的第i和j个字母相同时，s[i:j]才会是回文串。

上文的所有讨论是建立在子串长度大于 2 的前提之上的，我们还需要考虑动态规划中的边界条件，即子串的长度为 1 或 2。对于长度为 1 的子串，它显然是个回文串；对于长度为 2 的子串，只要它的两个字母相同，它就是一个回文串。因此我们就可以写出动态规划的边界条件：

根据这个思路，我们就可以完成动态规划了，最终的答案即为所有P(i,j)=true 中 j−i+1（即子串长度）的最大值。注意：在状态转移方程中，我们是从长度较短的字符串向长度较长的字符串进行转移的，因此一定要注意动态规划的循环顺序。

链接：

https://leetcode-cn.com/problems/longest-palindromic-substring/solution/zui-chang-hui-wen-zi-chuan-by-leetcode-solution/