494. 目标和 回溯法+动态规划

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了494. 目标和 回溯法+动态规划相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

题目

给定一个非负整数数组,a1, a2, ..., an, 和一个目标数,S。现在你有两个符号 + 和 -。对于数组中的任意一个整数,你都可以从 + 或 -中选择一个符号添加在前面。

返回可以使最终数组和为目标数 S 的所有添加符号的方法数。

题解

方法一、暴力回溯法

刚刚看到本题的时候,要使用+和-,并且结合非负整数数组来组成目标和。心想这不是一个组合题目嘛,铁定回溯法。来说一下回溯法的基本框架。

解决一个回溯问题,实际上就是一个决策树的遍历过程。一般来说,需要解决三个问题:

  1. 路径:也就是已经做出的选择。

  2. 选择列表:也就是你当前可以做的选择。

  3. 结束条件:也就是到达决策树底层,无法再做选择的条件。

我们所使用的框架基本就是:

LinkedList result = new LinkedList();
public void backtrack(路径,选择列表){
   if(满足结束条件){
       result.add(结果);
  }
   for(选择:选择列表){
       做出选择;
       backtrack(路径,选择列表);
       撤销选择;
  }
}

其中最关键的点就是:在递归之前做选择,在递归之后撤销选择

对于本题来讲,相当于在选择nums中的数的情况下,之后再面临两种选择,选择加当前的数,还是选择减当前的数。我们来看具体代码

class Solution {
   public List<LinkedList> list = new LinkedList<>();
   public int result = 0;
   public int findTargetSumWays(int[] nums, int S) {
       countCom(nums,0,0,S,new LinkedList<Integer>());
       return result;

  }
   public void countCom(int[] nums, int index,int target,int sum , LinkedList<Integer> trace){
       if(trace.size() == nums.length){
           if(target == sum) {
               list.add(new LinkedList (trace));
               result++;
          }
           return ;
      }
       //选择列表
       for(int i = index; i<nums.length; i++){
           
           //做出+nums[i]
           target = target - nums[i];
           trace.add(nums[i]);
           countCom(nums,i+1,target,sum,trace);
           //撤销选择
           target = target + nums[i];
           trace.removeLast();
           
           //做出-nums[i]
           target = target + nums[i];
           trace.add(nums[i]);
           countCom(nums,i+1,target,sum,trace);
           //撤销选择
           target = target - nums[i];
           trace.removeLast();
      }
  }
}

思路比较简单,但是由于时间复杂度比较高,Leetcode后台会显示超出时间限制


方法二、动态规划(背包问题)

虽然上述回溯法超时了,但是依旧给我提供了后续思路,我们仔细观察一下回溯法在这道题的解题框架:

//选择列表
for(int i = index; i<nums.length; i++){
   //选择做出+nums[i]
  ... ...
       
   //选择做出-nums[i]
  ... ...
}

上述框架叙述了这样一件事,在选择nums[i]这个数的时候,我们该选择+呢?还是选择-呢?还是两种都要算一起呢?写到这思路渐渐明朗起来。这就相当于在背包载重最大为j的情况下,对前i个物品进行选择。这样我们就转换成了背包问题了。

当然,这道题肯定是两种都要算一起,因为我们最后求的是和为目标数 S 的所有添加符号的方法数

那状态转移方程就出来了。

dp[i][j] = dp[i-1][j+nums[i]] + dp[i-1][j-nums[i]]

解释j+nums[i]j-nums[i]表示对nums[i]可以执行加,还可以执行减,那么dp[i][j]的结果值就是加/减之后对应位置的和。


接下来需要明确base case,在本题中这也是关键的一步,很多小伙伴会卡在这里。在这之前我们需要明确状态与选择。对于本题来讲:

  • 状态:即目标和(有范围)

  • 选择:+或- nums数组中的元素

解释:例如,在示例nums = [1, 1, 1, 1, 1]中在非负整数数组的前提下,由于要选择+或者-,那么:

  • 组成的最大和就是对所有元素全选+。sum =  5。

  • 组成的最小和的是对所有元素全选-。sum = -5 。

说明我们的目标和S一定是 -5<= S <=5的,其范围长度length = sum*2 + 1。这样就确定下状态了。那我们的dp表就是:

因为整个状态的范围长度length = sum*2 + 1,而j是从0开始的,故其初始化的位置应为sum。由于状态转移方程为dp[i][j] = dp[i-1][j+nums[i]] + dp[i-1][j-nums[i]].故dp表初始化应为:

if(nums[0] == 0) dp[0][sum] = 2;
else{
   dp[0][sum+nums[0]] = 1;
   dp[0][sum-nums[0]] = 1;
}

如果nums[0]==0的话,那么+0和-0都应该算作其操作,故if(nums[0] == 0) dp[0][sum] = 2;

具体流程为:

接下就可以写代码了,在写的过程中注意边界的问题即可。

代码

class Solution{
   public int findTargetSumWays(int[] nums, int S){
       if(nums.length == 0) return 0;
       int sum = 0;
       for(int i = 0; i < nums.length; i++) sum += nums[i];
       if (Math.abs(S) > Math.abs(sum)) return 0;
       int[][] dp = new int[nums.length][sum*2+1];
       //初始化
       if(nums[0] == 0) dp[0][sum] = 2;
       else{
           dp[0][sum+nums[0]] = 1;
           dp[0][sum-nums[0]] = 1;
      }
       
       for(int i = 1; i<nums.length; i++){
           for(int j = 0; j<(sum*2+1);j++){
               int l = (j - nums[i]) >= 0 ? j - nums[i] : 0;
               int r = (j + nums[i]) < (sum*2+1) ? j + nums[i] : 0;
               dp[i][j] = dp[i-1][l] + dp[i-1][r];
          }
      }
       return dp[nums.length-1][sum+S];
  }
}



以上是关于494. 目标和 回溯法+动态规划的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

回溯法和动态规划的一般模板

六中常用算法设计:穷举法分治法动态规划贪心法回溯法和分支限界法

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动态规划第七篇:01背包问题(目标和 + 一和零)

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java——递归(动态规划,回溯)