写写代码系列032：整数拆分（动态规划）

Posted 2021-04-18 阿尔法放荡不羁

题目描述

给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。返回你可以获得的最大乘积。

示例1：如n = 2，则返回1（2 = 1 + 1，1 * 1 = 1）

示例2：如n = 10，则返回36（10 = 3 + 3 + 4，3 * 3 * 4 = 36）

题目解析

本题是leetcode上343号问题。

解法1：暴力解法

当一个问题没有头绪的时候，我们可以想一想，是否可以用枚举的方法，计算出全部拆分方案，以此来解决问题呢？事实上，对于本问题，回溯遍历将一个数做分割的所有可能性，是可以解决的，时间复杂度是指数级的，为O(2^n)。

我们以分割4为例。第一步，可以将4分割为1+3，2+2，3+1三种方案。

在这样的分割策略下，我们只需要求出分割3获得的最大乘积，再乘以1，就是一个备选答案。同理，我们获得分割2获得的最大乘积，再乘以2，又是一个备选答案。我们获得分割1获得的最大乘积，再乘以3，又是一个备选答案。这三个备选答案中取最大值就解决了分割4最大乘积这个问题。接下来，对于分割3，分割2，分割1获得最大乘积又可以按照同样的策略进行分割：将3分割成1+2，2+1，将2分割成1+1，1不可再分。

现在，对于4的所有分割形式就都遍历出来了，我们也能比较出所有分割方式中最大的乘积是谁。对于更一般的形式，如果我们是分割n获得最大乘积，递归树则如下所示。

事实上，求解分割n所获得的最大乘积这样的一个最优化问题，可以拆分成若干个子问题，通过求子问题的最优解，可以获得原问题的最优解，这样的形式叫做最优子结构。比如，通过求解分割n-1获得的最大乘积，分割n-2获得的最大乘积，……，分割1获得的最大乘积，将这些子问题的答案综合起来，就可以获得分割n获得的最大乘积的答案。事实上，也正是因为最优子结构的存在，我们上述的递归树才得以存在。

解法2：动态规划

基于最优子结构的思路，我们需要有一个数组，这个数组用来储存分割1获得的最大乘积，分割2获得的最大乘积，……，分割n获得的最大乘积这些答案，而我们所需要返回的就是数组中的最后一个元素：分割n获得的最大乘积。事实上，根据最优子结构的思路，分割i获得的最大乘积 = max(j * (i - j)，j * 分割i-j的最大乘积)，其中1≤j≤i-1，而分割i-j的最大乘积，又可以根据最优子结构的思路继续往前找。

程序实现

class Solution:
    def integerBreak(self, n: int) -> int:
        # 初始化储存分割i最大结果的数组，memo[i]表示将数字i分割后得到的最大乘积
        memo = [-1] * (n + 1)
        memo[0] = 1
        for i in range(1,n + 1):
            # 求解memo[i]
            for j in range(1,i):
                # 将i分割成j和i-j两部分
                # 分割i的最大乘积为：j*(i-j)，j*将i-j继续分割的最大乘积
                # 根据最优子结构，将i-j继续分割的最大乘积就是memo[i-j]
                memo[i] = max(max(memo[i],j * (i - j)),j * memo[i - j])
        return memo[n]

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