423，动态规划和递归解最小路径和

Posted 2021-04-18 数据结构和算法

When the world turns its back on you, you turn your back on the world! And only embrace what's next!

若世界与你背道而驰，你无需亦步亦趋，欣然走好接下来的每一步吧！

问题描述

给定一个包含非负整数的 m x n 网格，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

说明：每次只能向下或者向右移动一步。

示例:

输入:

[

  [1,3,1],

  [1,5,1],

  [4,2,1]

]

输出: 7

解释: 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

动态规划求解

这题求的是从左上角到右下角，路径上的数字和最小，并且每次只能向下或向右移动。所以上面很容易想到动态规划求解。我们可以使用一个二维数组dp，dp[i][j]表示的是从左上角到坐标(i，j)的最小路径和。那么走到坐标(i，j)的位置只有这两种可能，要么从上面(i-1，j)走下来，要么从左边（i，j-1）走过来，我们要选择路径和最小的再加上当前坐标的值就是到坐标（i，j）的最小路径。

所以递推公式就是

dp[i][j]=min(dp[i-1][j]+dp[i][j-1])+grid[i][j];

有了递推公式再来看一下边界条件，当在第一行的时候，因为不能从上面走下来，所以当前值就是前面的累加。同理第一列也一样，因为他不能从左边走过来，所以当前值只能是上面的累加。

比如上面图中，如果我们走到中间这一步的话，我们可以从上面1→3→5走过来，也可以从左边1→1→5，我们取最小的即可。我们来看下代码

 1public int minPathSum(int[][] grid) {
 2    int m = grid.length, n = grid[0].length;
 3    int[][] dp = new int[m][n];
 4    dp[0][0] = grid[0][0];
 5    //第一列只能从上面走下来
 6    for (int i = 1; i < m; i++) {
 7        dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
 8    }
 9    //第一行只能从左边走过来
10    for (int i = 1; i < n; i++) {
11        dp[0][i] = dp[0][i - 1] + grid[0][i];
12    }
13    for (int i = 1; i < m; i++) {
14        for (int j = 1; j < n; j++) {
15            //递推公式，取从上面走下来和从左边走过来的最小值+当前坐标的值
16            dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j];
17        }
18    }
19    return dp[m - 1][n - 1];
20}
21

我们看到二维数组dp和二维数组grid的长和宽都是一样的，没必要再申请一个dp数组，完全可以使用grid，来看下代码

 1public int minPathSum(int[][] grid) {
 2    int m = grid.length, n = grid[0].length;
 3    for (int i = 0; i < m; i++) {
 4        for (int j = 0; j < n; j++) {
 5            if (i == 0 && j == 0)
 6                continue;
 7            if (i == 0) {
 8                //第一行只能从左边走过来
 9                grid[i][j] += grid[i][j - 1];
10            } else if (j == 0) {
11                //第一列只能从上面走下来
12                grid[i][j] += grid[i - 1][j];
13            } else {
14                //递推公式，取从上面走下来和从左边走过来的最小值+当前坐标的值
15                grid[i][j] += Math.min(grid[i - 1][j], grid[i][j - 1]);
16            }
17        }
18    }
19    return grid[m - 1][n - 1];
20}

递归求解

我们还可以把上面的动态规划改为递归，定义一个函数

minPathSum(int[][] grid, int i, int j)表示从左上角到坐标(i，j)的最短路径和，那么同样道理，要走到坐标(i，j)只能从上面下来或者左边过来。所以代码轮廓我们大致能写出来

 1public int minPathSum(int[][] grid, int i, int j) {
 2    if (边界条件的判断) {
 3        return
 4    }
 5
 6    //一些逻辑处理
 7
 8    //取从上面走下来和从左边走过来的最小值+当前坐标的值
 9    return grid[i][j] + Math.min(minPathSum(grid, i - 1, j), minPathSum(grid, i, j - 1));
10}

下面再来看下完整代码

 1public int minPathSum(int[][] grid) {
 2    return minPathSum(grid, grid.length - 1, grid[0].length - 1);
 3}
 4
 5public int minPathSum(int[][] grid, int i, int j) {
 6    if (i == 0 && j == 0)
 7        return grid[i][j];
 8    //第一行只能从左边走过来
 9    if (i == 0)
10        return grid[i][j] + minPathSum(grid, i, j - 1);
11    //第一列只能从上面走下来
12    if (j == 0)
13        return grid[i][j] + minPathSum(grid, i - 1, j);
14    //取从上面走下来和从左边走过来的最小值+当前坐标的值
15    return grid[i][j] + Math.min(minPathSum(grid, i - 1, j), minPathSum(grid, i, j - 1));
16}

因为这里面的递归会导致大量的重复计算，所以还是老方法，就是把计算过的值存储到一个map中，下次计算的时候先看map中是否有，如果有就直接从map中取，如果没有再计算，计算之后再把结果放到map中，来看下代码

 1public int minPathSum(int[][] grid) {
 2    return minPathSum(grid, grid.length - 1, grid[0].length - 1, new HashMap<String, Integer>());
 3}
 4
 5public int minPathSum(int[][] grid, int i, int j, Map<String, Integer> map) {
 6    if (i == 0 && j == 0)
 7        return grid[i][j];
 8    String key = i + "*" + j;
 9    if (map.containsKey(key))
10        return map.get(key);
11    int res = 0;
12    //第一行只能从左边走过来
13    if (i == 0)
14        res = grid[i][j] + minPathSum(grid, i, j - 1, map);
15        //第一列只能从上面走下来
16    else if (j == 0)
17        res = grid[i][j] + minPathSum(grid, i - 1, j, map);
18        //取从上面走下来和从左边走过来的最小值+当前坐标的值
19    else
20        res = grid[i][j] + Math.min(minPathSum(grid, i - 1, j, map), minPathSum(grid, i, j - 1, map));
21    map.put(key, res);
22    return res;
23}

总结

这题使用动态规划应该说是最容易理解的，也可以参照前面的和，只不过递推公式会有点差别。

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