R语言:样条回归
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了R语言:样条回归相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
01
解决何种问题
线性回归都知道是用来描述两个变量之间的线性关系,比如身高和体重,自变量身高每增加1个单位,因变量体重就变化多少,但是现实中能用线性回归描述的情况太少了,绝大部分关系都是非线性关系,这个时候就必须用其他回归来拟合了。例如类似下图这种数据,马上会想到用多项式回归,数据拐了2个弯,可以考虑用3次项回归,
如图2,其大致反应了数据的变化趋势,但有不足的地方,多项式是基于所有数据的,即所有的数据都符合多项式规律,且常常随着次数的增加,模型的复杂度也在玄素增加。但有的数据在某个值之前成直线关系,某个值之后又是二次项或三次项关系,这种数据就不能用一种关系表示,而要把数据分开,分开拟合曲线。仔细看数据,每段都是一个明显的线性关系,在拐点的地方,数据前后趋势发生变化,可以考虑用样条回归,如图3,较好的拟合曲线。
02
方法说明
样条回归是把数据集划分成k个连续区间,划分的点为节点,每一个连续区间都用单独的模型,线性函数或者低阶多项式函数(如二次或三次多项等),一般称为分段函数来拟合,很明显,节点越多,模型也越灵活。
样条回归可以看成是分段回归,但又不是简单的分段回归,它是加了约束条件的分段回归,要求在节点处连续。上图3展示的是简单的线性样条,有些数据过于复杂,还要考虑多项式样条回归,即每个分段拟合多项式,若是多项式样条,则不仅要求在节点连续,还要求在节点一阶导数相等,这样拟合出来的曲线更光滑,连起来也很自然。
03
R代码及解读
library(ISLR)
library(splines)
data(Wage)
set.seed(1234)
index <- sample(1:nrow(Wage),200)
dt <- Wage[index,] ##加载数据集
第一部分:分段多项式回归
onefit <- lm(wage~poly(age,3),data=dt,subset = (age<=40))
twofit <- lm(wage ~ poly(age,3),data=dt,subset = (age>40))
agelim1 <- range(min(dt$age),40)
age_grid1 <- seq(agelim1[1],agelim1[2])
preds1 <- predict(onefit,newdata = list(age=age_grid1),se.fit = T)
se_lim1 <- cbind(preds1$fit+2*preds1$se.fit,preds1$fit-2*preds1$se.fit)
agelim2 <- range(40,max(dt$age))
age_grid2 <- seq(agelim2[1],agelim2[2])
preds2 <- predict(twofit,newdata = list(age=age_grid2),se.fit = T)
se_lim2 <- cbind(preds2$fit+2*preds2$se.fit,preds2$fit-2*preds2$se.fit)
agelim <- range(dt$age)
plot(dt$age,dt$wage,xlim=agelim,cex=0.5,col='gray',
cex.axis=0.8,cex.lab=0.8,
ylab="Wage",
xlab="age")
lines(age_grid1,preds1$fit,lwd=2,col='purple')
lines(age_grid2,preds2$fit,lwd=2,col='purple')
abline(v=40,lwd=1,lty=3)
①上述数据集是从原始工资数据集Wage随机抽取200个样本用来拟合数据。
②我们在age=40处,将原数据集一分为二,切成两段,分别拟合3次多项式回归。因此有两个分段回归模型,最终拟合结果见上图。
③ 一个很重要的问题,整个模型在x=40处不连续,为了使模型在整个取值区间连续且光滑,我们给分段多项式模型添加一个限制,即:限制性回归样条。
第二部分:单节点的回归样条
newwage=dt
fit <- lm(wage~bs(age,degree=2,knots = c(40)),data=newwage)##注意bs
agelim <- range(newwage$age)
age_grid <- seq(agelim[1],agelim[2])
preds <- predict(fit,newdata=list(age=age_grid),se.fit=T)
plot(newwage$age,newwage$wage,col='gray',
cex.axis=0.8,cex.lab=0.8,
ylab="Wage",
xlab="age" )
lines(age_grid,preds$fit,col=rainbow(100)[40],lwd=2)
abline(v=c(40),lty=2,lwd=1)
采用splines包中ns,做样条回归,由图我们的拟合的样条回归,光滑且连续。该样条还可称之为B样条,它存在的缺点是在数据的开始和结尾处,由于数据量少,导致模型的预测方差很大,可以看出95%的置信区间比较宽,由下图所示,因此引出自然样条回归。
第三部分:B样条vs自然样条
fit <- lm(wage~bs(age,knots = c(25,40,60)),data=newwage) ##bs样条,ns 是自然样条
agelim <- range(newwage$age)
age_grid <- seq(agelim[1],agelim[2])
preds <- predict(fit,newdata=list(age=age_grid),se.fit=T)
se_lim <- cbind(preds$fit+2*preds$se.fit,preds$fit-2*preds$se.fit)
plot(newwage$age,newwage$wage,col='gray',
cex.axis=0.8,cex.lab=0.8,
ylab="Wage",
xlab="age" )
lines(age_grid,preds$fit,col='red')
matlines(age_grid,se_lim,lty=2,col='red')
abline(v=c(25,40,60),lty=2,lwd=1)
############自然样条 ns
fit <- lm(wage~ns(age,knots = c(25,40,60)),data=newwage)
agelim <- range(newwage$age)
age_grid <- seq(agelim[1],agelim[2])
preds <- predict(fit,newdata=list(age=age_grid),se.fit=T)
se_lim <- cbind(preds$fit+2*preds$se.fit,preds$fit-2*preds$se.fit)
lines(age_grid,preds$fit,col='blue')
matlines(age_grid,se_lim,Ity=2,col='blue')
abline(v=c(25,40,60),lty=2,lwd=0.8)
legend(x=20,y=290,c('cubic spline','natural cubic spline'),col=c('red','blue'),
lty=1,lwd=1,cex=0.8)
需要说明的几个点:
①函数bs()的使用说明:构建一个多次回归样条的操作是很简单的,将整个模型放到lm()中,bs()函数的右边是预测的变量,knots定义的是将age分成多段的节点。如果不知道选择什么节点,则可以定义df=7,表示定义3个节点,那么模型会自动选择3个节点进行拟合,其中df=节点数+4。里面还有个参数degree,表示的是多次样条回归的次数,默认是3次回归样条,可以传入其他参数,比如4和5。
②为了解决B样条回归的边界预测误差大的问题,统计学家们又在B样条回归增加约束,这种回归成为自然样条回归,对应函数是ns(),通过上图的对比,蓝色为自然样条回归,红色为B样条回归,蓝色的虚线间距比红色的虚线间距窄,尤其是在age的两端,表明自然回归在age的边界处得到的结果更加稳健。
04
总结
1.对于不呈直线性的数据,除了多项式模型以外,如果整个数据的规律用一个模型解释不了的话,可以采用样条回归。
2.对比分段多项式,B样条回归和自然样条回归的优点和不足,以及样条回归的函数使用,根据实际情况选择适合自己的模型。
05
参考文献
方积乾等. 卫生统计学. 人民卫生出版社
薛毅等.统计建模与R软件.清华大学出版社
孙振球等.医学统计学.人民卫生出版社
https://www.sohu.com/a/396652077_489312
https://www.sohu.com/a/294264454_777125?p=wechat
作者介绍:医疗大数据统计分析师,擅长R语言。
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