算法专题 之 广度优先搜索

Posted 2021-04-14 JAVA万维猿圈

宽度优先搜索算法（又称广度优先搜索）是最简便的图的搜索算法之一，利用了广度优先遍历的一种搜索算法，是很多重要的图的算法（Dijkstra单源最短路径算法和Prim最小生成树算法）的原型。下面一起来看看吧：

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广度优先搜索的定义与理解

基本原则：

广度优先搜索类似于树的层次遍历过程，需要借助一个队列来实现，距离最近的节点先被访问，最远的节点最后被访问。具体来说，从某个节点出发，先访问其直接相连的子节点，若子节点不符合，再问其子节点的子节点，按级别顺序依次访问，直到访问到目标节点。 

实施步骤：

    （1）创建一个visited数组，用来记录已被访问过的顶点；创建一个队列，用来存放每一层的顶点；初始化图G；

    （2）从图中的v0开始访问，将visited[v0]数组的值设置为true，同时将v0入队；

    （3）只要队列不空，则重复如下操作：

1. 队头顶点u出队

2. 依次检查u的所有邻接顶点w，若visited[w]的值为false，则访问w，并将visited[w]置为true，同时将w入队。

应用场景：

    （1）从A出发是否存在到达B的路径；

       （2）从A出发到达B的最短路径(这个应该叫最少步骤合理)；

       （3）二叉树的宽度搜索遍历，从根结点开始沿着树的宽度搜索遍历

深度优先搜索与广度优先搜索：

    （1）深度优先搜索算法和广度优先搜索算法在时间复杂度上是一样的；

    （2）深度优先更适合目标比较明确，以找到目标为目的的情况；

    （3）广度优先更适合在不断扩大遍历范围时找到相对最优解的情况；

实例解析

题目1：对称二叉树

题目描述：给定一个二叉树，检查它是否是镜像对称的。

示例 : 

二叉树  [1, 2, 2, 3, 4, 4, 3]是对称的：

     1

   /    \

  2     2

 /  \    /  \

3  4 4  3

但是这个下面  [1, 2, 2, null, 3, null, 3]则不是镜像对称的：

    1

   /  \

  2   2

   \    \

   3    3

解题思路：该题有递归和迭代两种方法解决。如果一个树的左子树与右子树镜像对称，那么这个树是对称的，需要满足两个条件，一方面它们的两个根结点具有相同的值；另一方面每个树的右子树都与另一个树的左子树镜像对称。

方法1：递归，时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(n)

注：下面代码可左右滑动查看

class Solution { public boolean isSymmetric(TreeNode root) { if (root == null) { return true; } return isSymmetric(root.left, root.right); }
 private boolean isSymmetric(TreeNode t1, TreeNode t2) { if (t1 == null && t2 == null) { return true; } if (t1 == null || t2 == null) { return false; } if (t1.val != t2.val) { return false; } if (isSymmetric(t1.left, t2.right) && isSymmetric(t1.right, t2.left)) { return true; } return false; }}

方法2：迭代，找出所有false的情况，剩下的为true，时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(n)

注：下面代码可左右滑动查看

class Solution { public boolean isSymmetric(TreeNode root) { if(root == null) {  return true; } Queue<TreeNode> q1 = new LinkedList(); Queue<TreeNode> q2 = new LinkedList(); q1.offer(root.left); q2.offer(root.right); while (!q1.isEmpty() && !q2.isEmpty()){ TreeNode n1 = q1.poll(); TreeNode n2 = q2.poll(); if (n1 == null && n2 == null){ continue; } if ((n1 == null && n2 != null) || (n1 != null && n2 == null)) { return false; } if (n1.val != n2.val){ return false; } q1.add(n1.left); q1.add(n1.right); q2.add(n2.right); q2.add(n2.left); } return true; }}

题目1：完全平方数

题目描述：给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, ...）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。

示例 : 

输入: n = 12  输出: 3  解释: 12 = 4 + 4 + 4.
输入: n = 13  输出: 2  解释: 13 = 4 + 9.
解题思路：有人看到这道题想到用贪心算法，对于这道题贪心算法是不适用的，例如
12 = 9 + 1 + 1 + 1，由于题目中提到了“完全平方数的个数最少“，凭借这个关键
词“最少“，可以想到类似的最短路径问题，可以用广度优先搜索来实现。
方法1：广度优先遍历

 
   
   
 

  
    
    
  
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
  
  
    
    
  
class Solution { public int numSquares(int n) { Set<Integer> squareSet = new HashSet<>(); Queue<Integer> queue = new LinkedList<>(); queue.add(n); int step = 0; while (!queue.isEmpty()) { step++; int size = queue.size(); for (int i = 0; i < size; i++) { int now = queue.poll(); if (squareSet.contains(now)) { return step; } int max = (int)Math.sqrt(now); for (int j = max; j > 0; j--) { int square = j*j; if (square == now) { return step; } else { if (now == n) { squareSet.add(square); } queue.add(now - square); } } } } return -1; }}
 
   
   
 
方法2：动态规划
 
   
   
 

  
    
    
  
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
  
  
    
    
  
class Solution { public int numSquares(int n) { int[] nums = new int[n+1]; nums[0] = 0; nums[1] = 1; for(int i = 2; i <= n; i++){ int tmp = Integer.MAX_VALUE; for(int j = 1; j*j <= i; j++){ tmp = Math.min(tmp,nums[i-j*j]); } nums[i] = tmp+1; } return nums[n]; }}
 
   
   
 
 
   
   
 

  
    
    
  
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