数学与自然语言

Posted 2021-04-12 爱智慧PHILOSOPHIA

本文摘自《数学与科学》Ronald E. Mickens主编（Word Scientific，1990）

数学与自然语言

F. David Peat

01

介绍

“上帝是个数学家”，詹姆斯·金斯爵士这样说1。在20世纪30年代出版的一系列有影响的颇受欢迎的书中，英国天文学家和物理学家认为，宇宙出于纯粹的思想，用抽象数学的语言来表达。但是为什么上帝只在数学上思考呢？毕竟，人类的一些最令人印象深刻的成就涉及了建筑、诗歌、戏剧和艺术，宇宙的本质是不是可以在交响乐中同样被捕获，抑或在一首诗歌中展现出来呢？

三个世纪之前，伽利略写道：“大自然这本伟大的作品是用数学语言写成的”，这一观点得到了当代物理学家的完全赞同。今日之数学在物理学中占有如此重要的地位，一些评论家认为它已经引领和指导了物理学的研究。在名为超弦理论（Superstrings）的前沿领域，一些批评者认为数学实际上填补了物理因缺乏深刻思想而留下的任何空白。但是为什么数学在物理学中能扮演如此强大的角色呢？它的中心位置是必然的吗？当前物理和数学之间的结合总是健康的吗？还是有时候数学可能会阻碍创造力呢？在这篇文章中，我想以一种思辨和自由的方式来探索这些问题可能的答案，并就物理世界语言的重大发展提出一些建议。

02

数学的作用

虽然存在例外，但通常情况下，伟大的数学是因为自己的缘故而发展的，没有任何超出自身范畴的东西。数学有其自身独特的美，对于数学家来说，无论数学活动对社会有何价值，解决一个重要问题都能带来审美的趣味。从这个意义上讲，数学一直试图摆脱它在实践上的起源。

例如，几何发始于用于土地测量、计算面积、天文研究和识别方向的规则，而概率论起源于将赌博提升为高级艺术的愿望。但是，数学很快摆脱了这些乏味的起源。尽管一些杰出的数学家肯定是从物理世界中的一个具体问题开始他们的研究，但最终，他们发展出的数学已经摆脱了这些特定的事例，以便专注于更抽象的关系。数学真正关心的并不是这些特殊的实例，而是从中抽象出的思想之间的关系。事实上，数学通过探索这些关系之间的关系，获得了更进一步的抽象。用这样的方式，数学整个领域从它的历史起源，走向了更高度的抽象和更深层的美。

英国数学家哈代（G. Hardy）2拒绝证明数学的实用价值，并将其作为一种艺术来追求。他似乎因为自己对抽象的研究和远离实际应用而感到高兴。实际上，哈代曾经说过，纪念碑是如此之高，以至于没有人能够看到摆放在其顶峰的雕像——这是他给自己作为一个数学家的有些极端的恰当比喻。

用冯·诺依曼的话来说，数学就是“关系的关系（the relation of relationships.）”。今天有可能走得更远，因为一个叫做范畴学（Category theory）的数学分支并不关心任何特定的数学领域，而是关注不同领域自身之间的关系！这个级别的数学看起来是最纯粹和最稀有的思想，它就像一首抽象和完美的音乐，哪怕最简单的表演都会破坏了它的纯净。

但正是在这一点上，一个惊人的悖论在我们的唇齿之间击中了我们。抽象的数学恰好适合和有用，被物理学家用来作为和宇宙的坚果与螺栓一同工作的工具！事实上，过去学院里的科学家把数学称为“物理学的女佣”。但是，为什么对纯粹思想的抽象重构，脱离了物理实体和物质过程，在日常的科学实践中会如此有用呢？这回应了尤金·维格纳的著名评论：数学是不合理的有效（ mathematics is unreasonably effective）。

从科学史来看，有很多这样的例子，纯数学的某个分支，在发展了数十年后，突然在物理学中找到了用处。也有一些数学方法，原本是为某一特定目的而开发的，后来发现这些方法正为某些完全不同的物理领域所需要。

概率论最初是为赌博策略而设计的，它最终为热力学提供了分子基础所需的精确语言——做功和热的物理理论。但为什么会这样？当爱因斯坦提出他的广义相对论时，他发现上个世纪已经发展了必要的数学。同样，量子理论需要的数学早已准备就绪。群论起源于十八世纪和十九世纪的基础数学，它是过去五十年来大部分理论物理学的基石。而当代理论物理学前沿的超弦理论，用上了现成的上同调（cohomology）和微分几何等数学工具。从表面看，这显然是抽象数学和物理世界研究之间的完美结合，就如同一片被发现的现代塑件正好契合于某复杂新引擎的缺失部分一样令人不可思议！

怎样才能解释数学的这种不合理的有效性以及它在当今物理学中扮演的重要角色？一种方法是采用伽利略的暗示，将数学视为一种语言。正如自然语言被用于日常思考和交流一样，物理学也必须利用任何可以用到的数学语言。从这个角度看，数学是一种工具，就像锤子或起子一样，我们选择最合用的工具。

03

作为语言的数学

称之为“数学语言”是很常见的，但数学真的是一门语言吗？它是否具有其他自然语言特有的各种属性？显然，数学不像自然语言那样流畅，它很少被大声地说出来。这表明数学确实是一种限制性更严格的语言形式。然而，数学必须竭力找到语言的起源，这意味着数学的丰富而抽象的证据和定理最终可以追溯到曾经在语言中表达过的思想和论证——尽管这是一种漫长而繁琐的方式。现在，数学显然看起来一点也不像自然语言。数学涉及数字和符号，它用于计算，形式非常抽象。而另一方面，所有这些特征可能已被包含在自然语言中。语言的力量在于意义可以通过形式和转换来传递。例如，古希腊人意识到，真理可以通过不同的句子模式（patterns of sentences）来表达。

凡人都有死。苏格拉底是一个人。因此：苏格拉底有死。

或者，采取另一种模式，

有些数学家很聪明。所有的数学家都是动物。因此：有些动物很聪明。

这些模式表明，结论的真实性并不取决于句子的内容，而是取决于其形式。换句话说，内容的替换并不影响证明的有效性：

所有[猫]都是[流浪者]。[米诺]是[猫]。因此：[米诺]是[流浪者]。

显然，这些模式和替换与代数有一些共同之处。其他转换在语言中也是可能的。

通过：约翰关上了门。

得到：门被约翰关上了。

这些只是语言中可能的一系列抽象操作。事实上，语言学家诺姆·乔姆斯基3认为，这种能力来自于基因，并且是所有人类思想固有的。为了进一步考虑乔姆斯基的想法，我们可以认为数学分离和提炼了所有人类语言至关重要的几个抽象要素。这个论点的另一个极端表述是，虽然数学家可能作出了抽象发现和发展了新的数学形式，但在最终的分析中，他们只是表现了人类思想和语言中固有的东西。

语言是表达和交流思想的正常方式，而数学成为这个过程的合理扩展。因此，当物理学家寻求理性的语言来表达他们的见解时，他们只需要接受即将发生的事情——最好的和可用的数学。因此，数学恰好适用并不令人惊讶。

从早期的推理到探究最高峰的智力提升中，数学发挥了至关重要的作用。但我现在假设，物理学家实际上没有其他选择，只能把数学作为唯一可以用来精确、经济地进行量化预测和比较的沟通语言。而且，如果艾萨克·牛顿没有伴随新的物理见解一起发展出一种新的数学语言，那么物理学就必须把它研究出来。

当数学语言形式与物理观念内容完美结合时，物理学的交流和发展非常成功。但情况并非总是如此，有时候可能一种特定的数学语言会被物理学用以繁琐的方式说理。数学实际上获得了进一步的创造。另一个极端是，因为可以很方便地表述理论的特定方向，使得数学实际上引导了物理学的发展，即便缺乏新的物理见解。换句话说，我想质疑维格纳关于数学不合理有效的说法，它可能完全是个幻觉，因为没有其他语言可用于物理学对世界的定量表述。在过去的几十年里，人们一直在谈论范式转变和科学革命——但在这种激进转变之后，仍然有可能保留同样的数学语言。简而言之，数学中固有的未经检验的预设全部转移到新的物理学中。

任何作家都知道语言具有掌控他人的思想的力量。言辞有自己的魔力，一种风格一旦被采用，就会汇集自己的动量。有人说，所有过去书写的文本都拥有一位作家。只要我们把笔书写在纸上并选择了一种特定的文学形式，那么我们的书写多少都是被预先决定的。我认为物理学也是如此，所采用的特定数学语言会微妙地引导新思想的发展。此外，有时候数学可能会阻碍物理学中自由及创造性想象力的成长。鉴于今天数学在物理学中占据着如此重要的地位，这些都是值得探讨的重要问题。

在对数学语言引导和影响科学思想的论证中，我们现在看到，真正的危险源于始终以物理思想为焦点，而不关心表达它们的语言！只要物理学家简单地将数学视为一种工具，那么就可能忽略它对于他们思考以及如何表达思想的微妙而强大的影响力。事实上，我相信可以论证，有个特定的数学形式已经阻碍了物理学几十年的进步，这就是在几次科学革命中幸存下来的笛卡尔坐标系！

现代物理学面临的一个主要问题是将量子理论与相对论统一起来。一种理论解决原子水平以下的离散量子化过程，而另一种理论解决连续时空的属性。虽然在取得重大进展之前必须解决深层次的物理问题，但我认为量子理论用以表达的数学语言与该理论实际上所描述的内容是不一致的。尽管量子力学和量子场论是一种真正革命性的方法，但它们所基于的数学却直接回到了笛卡尔——和我们所学的完全相同的笛卡尔坐标系。三百年来，物理学采用坐标系来讨论物体在空间和时间上的运动，后来的发展如微积分也依赖这个思想，即空间可以用坐标网格来表示。但正是这种数学语言与量子理论的革命性洞见不相符，笛卡尔坐标意味着连续性，物体移动依赖于空间的概念。因此，无论物理学在这个领域有什么新的见解，它们仍然以不适当的语言表达。我认为，这是用全新的方式思考空间和量子过程的主要障碍。

笛卡尔坐标如何支配物理学是显而易见的，但是，当前特定的数学形式正在引导科学并限制其发展，可能还有许多其他更微妙的方式。

04

超越语言的数学

但是，数学真的只不过是一种自然语言的有限而抽象的版本吗？我会认为数学比语言更多，也更少。因为数学是高级的编码形式，它易于计算、演绎证明并得出真实的断言。但是，在我看来，这仅仅是一种表面上的差异，这是数学在便利性和经济性超越普通语言的一个特征。数学超越语言更显著的特征是它蕴涵了一种特殊的视觉和知觉思维，而这似乎不为普通语言所具有。

数学对形状的属性和关系的研究，可以推广到许多维度和更抽象的关系。尽管如此，数学家告诉我，他们在这些特定领域的思想和任何语言无关。它要求直接的、内在的形象化，甚至可能涉及内部动觉和微小的肌肉反应。这种“非语言的”思维也可能发生在其他数学领域，并且似乎表现为一种超越口头或书面语言的心智活动。在这种时候，数学思想可能直接获得比任何自然语言都更深入、原始的思维形式。这种前语言的心智活动可能是产生数学和普通语言的共同来源。

另一方面，数学也比语言更少，因为它缺乏丰富性、处理细微差别的能力、固有的模糊性和处理这种模糊性的策略。从这个意义上说，数学是一种有限的技术性语言，不足以表达很多深刻的人类价值。

05

数学和音乐

还可以从另一个方向来探讨数学的本质及其与物理学的关系。比较数学与音乐，数学是一种有序和结构化思想的抽象系统，它为自己而存在。音乐也有类似的描述，事实上，20世纪的作曲家埃德加·瓦雷泽写道：“音乐是思想的物化（music is the corporealization of thought）”。例如，聆听巴赫，就是直接体验伟大思想的有序展开。这表明音乐和数学可能联系于某种基本的形式。另一方面，谁会用音乐来表达宇宙的新理论呢？（但是，这可能只是来自于我们地球意识的一种偏见？宇宙某个偏远角落里的众生是否会用音乐和艺术来探索自然的本质呢？）

音乐和数学既是相似的，也是不同的。事实上，我相信数学的优点和缺点就存在于这种差异中。数学已经发展到用精确和经济的方式证明和得出逻辑真理，数学也通过数字、运算和定量预测与物理世界直接对应。

虽然音乐在某些诗意上是“真实的”，而赋格发展的逻辑次序与数学证明相类似，另一方面，这些并不是音乐的主要目的。音乐处理理性思维的次序，它也探索音乐张力和解析度，关心音乐预期、控制复杂的声音感受、以及情感和情绪的演变和对比。借用荣格术语，音乐更完整，因为它追求人的四种基本功能（human functions） 之间的和谐：思维与情感平衡（balanced by feeling），以及感觉和直觉的平衡（intuition by sensation）。尽管数学家在研究基础数学时可能会感受到深层情绪，但与作曲家不同的是，他们的研究本身并不真正关心这些情绪的理性秩序或者之间的关系。然而，最伟大的音乐给我们深深的完整的感受，包括思想和情感，通过声音的物理感觉表达出来。

从这个意义上说，物理学依赖于数学语言，总是呈现一幅不完整的宇宙图景。它的语言是贫乏的，因为它缺乏四种人的功能的基本整合，它永远无法充分表达我们与自然之间对抗、参与和理解的本质事实。

但是，奇妙的是，在遥远的将来，由音乐所启发的科学可能会发展出一种更加综合和全能的语言，这种语言或许可以用于表达情感和直接感觉的秩序，同时又保留了传统数学的所有力量？

“音乐语言”和其他艺术还在另一重要方面不同于数学，虽然所有这些语言都关注关系和思维的理性秩序，但艺术能够通过探索秩序在感知行为中产生的方式，更加动态地展开这些秩序。量子理论也关注观察者与被观察者之间不可分割的联系，这表明，物理学可以在其基本语言中发展出类似的灵活性，使其能够探索存在于观察者和被观察者之间的丰富秩序。

我再说明一下，一件伟大的艺术作品拥有丰富的内部秩序。例如，在音乐中，主题可以经变调、倒转、回奏、或者以其它不同的方式转换，但仍可以保留其秩序的某个元素。当然，这只是一个在音乐作品中探索的秩序种类的简单例子，事实上，伟大音乐拥有的秩序是如此丰富，以至于无法进行完整的分析。同样，绘画包含了线、块、区域、颜色、动作等的复杂关系。在某些情况下，这种客观秩序可能与发现于数学中的秩序有很多共同之处。但是，任何艺术作品都可以引发人类观察者的沉思：真空中播放的音乐不是音乐，从未见过的艺术不是艺术。毕竟，艺术作品诞生于作品本身与观者积极的知觉、智力、知识和感觉之间的动态互动之中。

举一个具体的例子，像伦勃朗、毕加索、马蒂斯或日本大师的一些绘画作品，表面上看起来非常简单。在比较艺术系学生的细致渲染时，很少能发现秩序的迹象。做个简单分析，素描包含的信息少于细致的渲染，并且其秩序相对贫乏。然而，欣赏马蒂斯的绘画却是一次更加丰富的经历，能够引发思想和知觉的复杂秩序。最轻微地改变位置、方向、姿态或者线条的粗细，都可能破坏一幅伟大绘画的平衡和价值，但对学生作品的影响可能微乎其微。从这个意义上讲，伟大的艺术拥有丰富的秩序，它的微妙和复杂超越了当今的数学，它是训练有素的观者能够立即激发的某种东西。

事实上，绘画的丰富秩序并不是大量躺在画纸上的某种客观顺序，而在于整个感知行为本身以及绘画在心智中产生秩序层次的方式，线条唤起了人们对和谐或意外的期待。心智不断地填补、完成、创造无尽复杂的秩序。一条线可以暗示阴影的边界和背景轮廓，它可能让其他线条创建的节奏变得完整。事实上，欣赏绘画引发了绘画最原始创作过程的回响或共鸣。因此，绘画的本质并不是一种静态的、客观的秩序——这些工作可以让一台粗糙的计算机对数字、线条的位置和方向进行分析。相反，它是一个丰富的动态秩序，是心智内生的秩序。通过艺术作品，绘画的创造者诉求于主题本质、艺术历史以及知觉使用的策略。因此，欣赏绘画是作品本身以及大脑视觉中心、记忆、经历、绘画和人类的知识之间的深层而又复杂的相互作用。眼睛、记忆、心智、甚至身体的动觉系统都参与到高度复杂秩序的生成过程中，在这种秩序中每个细微差别都是其中一部分。

因此，绘画中的秩序可能比我们预想的要丰富得多，因为它的力量并不浮显于线条的某种表面模式，而在于控制和决定的方式，通过知觉本身的行为，让这些线条在心智和身体内生成了无限的秩序。人工智能的研究者已经注意到了所谓早期视觉过程，很明显我所说的这种远远超出了数学的秩序，或许现在可以用人工智能来分析和处理。

我觉得对知觉和内生的复杂顺序的描述是一个丰富而有影响力的领域，数学将会在其中得到扩展。它也可能在物理学中扮演重要角色，比如，量子理论关注的是观察者与被观察者之间不可分割的联系，采用能够表达整体概念所固有的无限秩序的数学是将会是有趣的。

类似的论点适用于音乐。一些音乐学家甚至用计算机分析音乐，计算其“信息内容”，得出例如，“现代音乐”比巴洛克音乐包含更多信息！但音乐的本质并不在于对它的客观信息内容的某种测量，而在于它在心智中引发的丰富而微妙的活动。音乐和艺术是种子，它以一种控制和深思熟虑的方式，在聆听者的心智和身体内盛开了秩序和意义的花朵。

回到更早的论点，这种内生的秩序表明了为什么伟大的音乐确实可以作为宇宙理论的隐喻。音乐关注的是在思想、感觉、直觉和知觉构成的宇宙中的创造和排序，以及存在于宇宙中的无限动态的秩序。从这个意义上说，音乐可以视为宇宙生成和演化的回应。显然，我们现在的数学缺乏这个基本的维度。但事实上，数学能否朝着这样的方向发展？新的数学不会简单地提供思想的结晶，而是在身体和思想中探索这种思想秩序的实际内生活动。这种新的语言形式将是数学与艺术之间的深层次结合。这将是需要由不同的心智用有序和受控的方式来实现的数学，这样，数学会成为更深层秩序的萌芽。

06

数学和大脑

让我们再回到数学不合理有效性的问题，正如我们所看到的，一个答案是将数学看作是一种语言，实际上它是唯一能够以经济而精确的方式处理世界量化推论的语言。从这个意义上说，数学是自然语言的一种受限形式。但是，在其他方面，它又超越了语言。然而，物理学一直只能被迫使用数学进行正式交流。因此，问题不在于数学的不合理有效性，而在于物理学家没有真正的选择。

但是也可以从其他角度来看这个问题。一是把数学的秩序和关系看作大脑内部结构和过程的反映。在走进数学基础的过程中，人们因此会更清楚大脑控制自身行为的某种直接表达方式。而且，由于大脑是一个通过与物质世界相互作用而演化而来的物理器官，因此大脑的潜在过程必然相对成功地塑造于外部世界。人类意识的发展，部分是基于我们身处的行星环境中特定的尺度和规模。我们身体只具有一定范围的感觉功能，我们需要预测、提前计划、坚持并记住目标的意象。此外，意识创造并形成于社会和交流的需要。在这里我们可以提出一些问题，比如，我们思考是因为有语言，或者因为我们思考才有了语言？或者答案可能介于两者之间。

根据这个一般性的论点，大脑的功能是我们在地球上作为身体和社会特殊存在的直接后果和反映，而且，数学是大脑有序运转的符号化表达。因此，数学成为一门合适的语言可以用来表达同一个大脑创造的理论模型，这一点不足为奇。

大脑采用正式策略属于认知心理学的领域，该领域的先驱之一是让·皮亚杰 5。皮亚杰的研究表明，我们的思想和行为的基础可以追溯到我们生命最初的数周、数月和数年中与世界相互影响的逻辑关系。皮亚杰相信，相同的逻辑运算也存在于数学中，在这方面，他有一个非常有趣的观点。他指出，众所周知，数学可以按越来越深的层次结构来展开。例如，在几何学里，最顶层和最表面水平的知识，正是闻名的埃及人和巴比伦人用于丈量形状和计算的半经验规则，在这之下才是古希腊人更基本的原理和公理的方法。几何的历史证明了更深层次和更一般水平的发现，欧几里德几何让位于非欧几何，几何之下是拓扑学，拓扑又建立在更加普遍和优美的数学上。研究特定主题的时间越长，数学家就能朝向基础走得更深。

但皮亚杰指出，这一历史演变直接逆转了婴儿时期空间概念的实际发展。对于年幼的孩，相交和不相交的形状之间的区别比三角形、正方形和圆形之间的区别更为直接。对于婴儿的心智发展，拓扑出现在几何之前。一般来说，更深层和更基本的逻辑活动比更具体的规则和应用开发更早。数学史通常被认为是向更深层次和更普遍的思维水平迈进的过程，也可以被看作是一个挖掘过程，以尝试揭示婴儿最早的思想活动。根据这个论点，最初的逻辑活动存在于前意识的层面，而且更加基础。在婴儿时期越早得到发展，它在心智中就埋得越深。再次，这表明了数学如此不合理的无效的理由，因为它越深入，就越成为互动和了解世界的正式的表达方式。

但是，有人可能会提出反对，如果数学和理论物理学发展的历史，仅仅是揭开和形式化了我们已经知道的东西，那么怎么可能创造像爱因斯坦的相对论这样完全存在于我们的经验之外的新思想呢？然而，问题的关键在于，这种时空的同等性或相互依存已经以现实的语言呈现出来，而不是在发现时间和空间必然统一性之后，也不真正在语言上分离！根据这个总体思想，在物理学和数学中看起来很新颖的东西本质上就是人类隐含的思维结构的清晰展开——当然物理学本身也利用了经验的观察和预测。出于这样的原因，把数学作为一门语言智慧地应用于物理学，这必然是有效的。

皮亚杰的观点认为，数学和物理学的发展永远深入心智的最深层结构，这当然很有趣。然而，我认为认知心理学的方法有一定的局限性，它强调大脑的策略和程序、逻辑步骤和思维算法。本文没有足够的空间来进行详细的论证，但我认为，虽然认知心理学可能会产生一些有价值的见解，但它目前的形式并不能捕捉到人类智能的真实本质，特别是数学。形式逻辑是一种描述人类思维的贫乏方式，数学的实践远远超出了算法的规则。例如，数学家罗杰·彭罗斯6论证了为什么机器智能（图灵机）必然是有限的，或者其他任何算法设备永远无法完成人类数学家所能做的所有事情。数学确实可以反映大脑的运转过程，但大脑和思维的性质远远超出了任何算法和逻辑的运算结构。

07

数学和原型

在最后一部分中，我将更有试探性地研究另一种解决数学不合理有效性问题的方法。我想表明，思想和物质，大脑和意识是一个过程的两个方面，这是从更深的和迄今尚未探索的地方出现的。在这个意义上，产生于宇宙的生成秩序与意识的生成秩序有着共同的源泉。因此，在其最深的运转中，我们的智能可以说反射了世界。但是，对于这个源泉的性质，可以说些什么呢？中国古代哲学家老子似乎说过，“道可道，非常道”。

当然，作为物质和意识的未知的、未定义源泉的想法，可能会深深吸引许多读者。毕竟，它只是解释数学不合理有效性的另一种方式。我们现在的时代不会同意像“上帝是数学家”这样广泛的断言，但假设思想和宇宙具有共同的秩序，物质和精神的存在都来源于在于一种未定义的创造力，并在无限微妙和复杂的顺序中生成7？虽然可能永远不能完全地理解这种秩序的性质，但仍有可能通过音乐、艺术和数学来展现其某些方面。因此，数学的巨大的美学乐趣距离音乐或任何伟大艺术的乐趣并不遥远，因为它与宇宙本身的核心联系在一起，超出了我们自身的意义。当成为意识和宇宙基础秩序的圣歌，并且表达了自然界固有的真理时，数学就是有效的。

这个想法已经被其他方式表达过了。例如，卡尔·荣格谈到的原型，这是一个用简短的定义难以表达的艰深概念，但非常粗略地说，原型可以被看作是集体无意识结构背后的那些不可知的动态秩序。原型永远不会被直接看到，但在某些普遍象征中可以体验到它们的力量。进一步地推测，荣格还暗示了一些超越物质和思想又包含二者的东西。正如他所说的，这种类精神与原型有关，并给予物质与精神的诞生和结构以相同基本秩序原则。正如人类意识诞生于集体无意识中，宇宙本身也出现在更原始的东西之外。我们再一次回这一观点，即相同的基础秩序引发物质和思想（the same underlying order gives rise to both matter and mind.）。

有趣的是，荣格很重视数字。荣格认为，数字是原型（archetype）的直接表现，因此是宇宙本身的基本结构化过程的反映。数字是神秘的东西，这是确定无疑的。暂时回到数学与语言之间的联系，说到语言，“符号是随意的”是语言学的一个基本公理。换句话说，一个世界的意义并不在于它的声音或写作方式，而在于它的使用方式。如果你想知道其意义，哲学家维特根斯坦说，寻找用法。相比之下，数学的基本单位和数字是完全不同的，它们并不是随意的，而是具有它们自己的意义和存在。尽管赋予数字的名字可能是随意的，但数字本身并不是0、1、2、3，不是意义随着时间和使用而变化的符号，而是数学的要旨。从某种意义上说，他们几乎是柏拉图式的。比如，有人说，上帝创造了数字，人类的智慧创造了其余的数学。荣格声称这些数字是原型的表现。事实上，荣格的论点确实有一个关于它的真相环，因为数字确实令人很好奇，其性质的展现仍然是最基本的数学形式之一。正如荣格所说，这些数字是否是宇宙和人类意识背后的原型或秩序的表达？ 8

奇怪的是，这个想法得到了一位著名数学家的青睐。本世纪最杰出的纯数学家之一S·拉马努金没有给予数学证明多少价值，但他仅凭纯粹的直觉就得出了数论中的杰出定理。然而，拉马努金本人相信，这些深刻的结论是由一位女神赋予他的。在荣格的术语中，这个神也将是原型的一种表现。

所以，对于拉马努金来说，数学的全部秩序及其根本的真理和美，基本上都处于超越逻辑真理和理性论证的领域。它有时可以直接被数学家的直觉触动，而且看起来几乎是神圣的。至于这个领域的性质，我们可以称之为原型、类精神、存在或非定义、创造性源泉。但是有什么关系呢？重要的是，一位卓越的数学家绕开了理性的论证和有力的证明，从空气中得出了杰出的定理。同样令人惊讶的是，这些纯粹思想的交响曲极有可能在现实中得到完全的实际应用。

08

结论

数学的不合理有效性仍然是一个悬而未决的问题，尽管我已经提出了一些建议。我还认为，数学可能并不总是像我们想象的那样有效，因为有时物理思想被迫适应特定的数学语言，而在其他情况下，语言本身的分类可能会推动物理学向前发展，而不考虑任何新的物理思想！

我还提出了可以改进物理语言形式的方法。发现一种复杂而微妙秩序的数学是一个主要的领域，对我来说，这是一种对宇宙基本特征的形式描述。最近有几次描述复杂秩序的尝试——曼德布洛特的分形理论能够描述和生成无限复杂的图形； 大卫博姆关于牵连秩序的概念是一个强大的概念，但尚未找到合适的数学表达式。9

最后，我还讨论了，有时候物理的数学语言不能捕捉在宇宙中我们的存在的基本事实。在这里我必须说明另一种偏见，对我而言，物理学一直关注于理解我们生活的宇宙的本质； 一种主持和定义我们在物质世界中的存在的方式，而不是为了发现新技术和积累更多的知识。有鉴于此，我批评了数学在物理学中的作用，并暗示了可以发展新的语言形式。当然，我承认数学为物理学所做的伟大的贡献，帮助它从猜测中拯救出来，我也认识到数学实践在达到自身目标的过程中蕴藏的巨大力量和美。但在此，在二十世纪末，我们不应该坐在我们的桂冠上，我们机构的所有目标是更深入地探究，以达到对宇宙本身更基本的理解和更完整的把握。在这个机构，对物理世界的预测、计算和控制也有其位置，但它们并不是科学事业的全部目标。正是由于这个原因，我敦促物理学家们更加关注他们每天使用的数学语言。

作家弗吉尼亚·伍尔夫也对发现和描绘复杂的自然秩序给予了特别关注。她关心当下的秩序，把个人生活中每一瞬间的复杂感受、经验和记忆用语言来结晶。在最后的分析中，她认识到，这家机构的成功取决于在语言和文字上创造了一种合适的表达方式，她自己对这个过程的观察恰恰表达了我在这篇文章中一直试图说的话。

“生活并不是一系列对称排列的灯光，而是一个发光的光环，一个半透明的包围，从意识的开始到结束，我们的任务是不是要传达这种变化的、未知的、未受限的精神，无论它表现出怎样的反常或复杂，并混杂着极少许的域外的成分？” 

对于詹姆斯·乔伊斯来说，顿悟或超常是他特殊的财富，可以在任何时刻用语言来捕获，甚至“将日常的经验转化为生命演化的光芒”。 弗吉尼亚·伍尔夫来用语言捕获了这一时刻的光芒：“它是某种秩序的启示；是在表象背后的真实存在的标志；我用文字来实现它。（it is or will become a revelation of some order; is a token of some real thing behind appearances; and I make it real by putting it into words.）”

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