程序员面试之必考题：平衡二叉树的基本概念

Posted 2021-04-12 开点工作室

平衡二叉树是二叉树的一种应用，在介绍平衡二叉树之前，首先来看一看什么是二叉排序树。

1.  二叉排序树

二叉排序树(BST)或者是一棵空树，或者是具有下列性质的二叉树：

①若它的左子树不空，则左子树中所有结点的值均小于树根结点的值；

②若它的右子树不空，则右子树中所有结点的值均大于等于树根结点的值；

③其左、右子树也分别是二叉排序树。

二叉排序树也称为二叉查找树，采用二叉链表结构存储。

由于二叉排序树的有序性，在树中进行查找的效率较高。查找的对象称为查找目标，若找到称为查找成功；否则称为查找失败。

二叉排序树各结点中保存的值称为关键字，有些应用中，要求关键字具有唯一性。

二叉排序树的每棵子树仍是二叉排序树。每个结点的左子结点的值均小于结点本身的值，其右子结点的值均大于等于结点本身的值。这个条件是其必要条件而非充分条件。换句话说，若一棵二叉树中每个结点左子结点的值小于结点的值，其右子结点的值大于等于结点的值，树不一定是二叉排序树。

二叉排序树T中的最小值位于其“左下角”，即从根开始沿指针lchild一直“向下”，直到指针lchild为空的结点。同样的，T中的最大值位于其“右下角”，即从根开始沿指针rchild一直“向下”，直到指针rchild为空的结点。

对二叉排序树进行中序遍历，可得到一个升序序列。这是二叉排序树的特性之一。

对于一般二叉树来说，仅知道树的先序序列或后序序列，不能唯一确定这棵二叉树。但具体到二叉排序树，知道其先序序列或是后序序列，均能唯一确定该树，因为其中序序列是隐含给出的。

二叉排序树的操作主要有：在树中查找关键字key、在树中添加关键字key、删除树中关键字key所在的结点。

2 平衡二叉树

同样的关键字集合可以构建出不同的二叉排序树树形，实际上，关键字的插入次序决定了最终得到的树形。如果给定的初始关键字有序，则得到的二叉排序树退化为线性结构，其树高与结点数相当，查找、插入及删除的时间复杂度均为O(n)。树越退化，查找及添加操作的时间复杂度越接近O(n)，消弱了树的价值。

1962年，Adelson-Velskii和E.M.Landis提出了一种二叉树结构，这种二叉树对于各级子树的深度是比较平衡的，称为平衡二叉树，又称AVL树（因三位发现者名字的首字母而得名）。它满足二叉排序树的特性，是对二叉排序树的改进，树形上也是比较平衡的，可以达到较高的查找效率。

平衡二叉树或是一棵空树，或是具有下列性质的二叉排序树：

①它的左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过1；

②它的左、右子树都是平衡二叉树。

平衡二叉树的定义是一个递归定义。根据这一定义，平衡二叉树中每个结点的左、右子树的高度之差只能为0、1和-1这三种情况。将结点左、右子树的高度差定义为该结点的平衡因子，即对树中的每个结点，结点的平衡因子=结点左子树高-右子树高。当出现绝对值大于1的平衡因子时，称树失平衡。

在二叉排序树的构建过程中，每插入一个关键字后，检查树的平衡情况，若树失平衡，则通过旋转操作使树恢复平衡。

旋转分为单旋转及双旋转两大类，共4种情况。

(1) 左旋转

因为根的右孩子的右子树上的长路径而失平衡的树，可以通过左旋转恢复，步骤如下：

1.  令根的右孩子变为新的根。

2.  令原根结点变为新根结点的左孩子。

3.  令原根的右孩子的左孩子变为原根结点的新右孩子。

左旋转的示意图如图1所示。

(2) 右旋转

因为根的左孩子的左子树上的长路径而失平衡的树，可以通过右旋转恢复，步骤如下：

1.   令根的左孩子变为新的根。

2.  令原根结点变为新根结点的右孩子。

3.  令原根的左孩子的右孩子变为原根结点的新左孩子。

右旋转类似于左旋转，可以看作是左旋转的镜像。

(3) 右-左旋转

因为根的右孩子的左子树中的长路径而引起的失平衡，必须先绕异常子树执行一次右旋转，然后再绕根执行一次左旋转。这个操作称为右-左旋转。如图2所示。

(4) 左-右旋转

因为根的左孩子的右子树中的长路径而引起的失平衡，必须先绕异常子树执行一次左旋转，然后再绕根执行一次右旋转。这个操作称为左-右旋转。与右-左旋转类似。