数据结构-PHP 平衡二叉树(AVL)的平衡原理

Posted 2021-04-12 爱因诗贤

这篇文章主要介绍一下 平衡二叉树(AVL)，对于 二分搜索树 来说，如果树上的 元素 是顺序 添加的，会导致数据退化成一个 链表，这样就会造成很严重的性能问题，此时就需要在 二分搜索树 的基础上，保证元素插入时平衡，在了解 AVL 之前，需要您对 二分搜索树 有一定的了解，可以参考之前的文章。

1.二分搜索树的问题

如下图所示，若向二分搜索树中添加的元素是按照 顺序 从小到大依次插入的，这样会导致最后节点退化成链表:

Tips：反过来依次从大到插入元素也会出现退化成 链表。

2.二叉树节点高度标注示意图

Tips：平衡因子等于左儿子高度减去右儿子高度，如45 和这个节点平衡因子 -2。

3.平衡二叉树特点

• 对于任何一个节点，左儿子树 和 右儿子树 的高度差(Δh)的绝对值不能超过 1，高度差(Δh) 称为 平衡因子。

• 本质是带了平衡功能的二分搜索树。

• 平衡二叉树(AVL) 的高度(h)和节点数之间的关系是 O(logn)级别的。

4.节点定义 php 代码

对于 二分搜索树 来说，AVL 需要在插入元素的时候保证 平衡，就需要引入节点高度(h)，所以节点定义需要在 二分搜索树 节点定义的基础上增加一个 height 属性：

class AVLNode
{
    public $e;
    public $left = null;
    public $right = null;
    public $height = 1;

    /**
 * 构造函数 初始化节点数据
 * Node constructor.
 * @param $e
 */
    public function __construct($e)
 {
        $this->e = $e;
    }
}

5.计算平衡因子

平衡因子等于左儿子高度减去右儿子高度，代码如下：

    /**
 * 获取 AVL 节点的高度 h
 * @param AVLNode $node
 * @return int
 */
    private function getHeight(AVLNode $node)
 {
        if ($node == null) {
            return 0;
        }
        return $node->height;
    }
    /**
 * 获取节点平衡因子
 * @param AVLNode $node
 * @return int
 */
    private function getBalanceFactor(AVLNode $node){
        if ($node == null){
            return 0;
        }
        return $this->getHeight($node->left) - $this->getHeight($node->right);
    }

6.更新节点高度

若递归插入元素时，需要更新节点高度，递归时当前节点高度 h = 1 + (左右儿子中最大h)，代码如下：

 /**
 * 向 AVL 添加元素
 * @param $e
 */
    public function add($e)
 {
        $this->root = $this->recursionAdd($this->root, $e);
    }

    /**
 * 递归向 AVL 添加元素
 * @param Node $root
 * @param $e
 */
    private function recursionAdd($root, $e)
 {
        if ($root == null) { //若节点为空则添加元素 并且返回当前节点信息
            $root = new AVLNode($e);
            $this->size++;
        } elseif ($e < $root->e) { //若元素小于当前节点元素 则向左节点递归添加元素
            $root->left = $this->recursionAdd($root->left, $e);
        } elseif ($e > $root->e) { //若元素大于当前节点元素 则向右节点递归添加元素
            $root->right = $this->recursionAdd($root->right, $e);
        } //若元素等于当前节点元素 则什么都不做


         //更新节点高度
        $root->height = 1 + ($this->getHeight($root->left) > $this->getHeight($root->right) ? $this->getHeight($root->left) : $this->getHeight($root->right));
        return $root;
    }

Tips：此处代码直接贴出之前 二分搜索树 代码添加元素方法。

7.判断二叉树是否为二分搜索树

若要判断二叉树是否为二分搜索树，则需要将二叉树中序遍历，若输出结果是按照顺序依次从小到大排列的，则表示该 二叉树 是一颗 二分搜索树，采用递归思想层序遍历然后将节点元素依次入队，代码如下，然后依次出队查看出队元素是否依次增大：

    /**
 * 判断二叉树是否为二分搜索树
 */
    public function isBST()
 {
        $queue = new QueueByLinkedList();
        $this->inOrder($this->root, $queue);
        do {
            $e = $queue->dequeue();
            if ($queue->getSize() > 0 && $e > $queue->getFront()) {
                return false;
            }
        } while ($queue->getSize() > 0);

        return true;
    }

     /**
 * 中序遍历二分搜索树
 */
    private function inOrder($root, $queue)
 {
        if ($root != null) {
            $this->inOrder($root->left, $queue);
            $queue->enqueue($root->e);
            $this->inOrder($root->right, $queue);
        }
    }

8.判断二叉树是否为平衡二叉树(AVL)

若需要判断二叉树是否为平衡二叉树(AVL)，则需要遍历二叉树，判断平衡因子 的绝对值是否大于 1，若大于 1 则不是 平衡二叉树(AVL)，否则就是，代码如下，使用递归处理：

    /**
 * 判断二叉树是否为平衡二叉树
 * @return bool
 */
    public function isBalanced(): bool
 {
        return $this->recursionIsBalanced($this->root);
    }

    /**
 * 遍历二叉树 判断每个节点是否满足平衡因子绝对值 小于等于 1
 * @param $node
 * @return bool
 */
    private function recursionIsBalanced($node)
 {
        if ($node != null) {
            if ($this->getBalanceFactor($node) < -1 || $this->getBalanceFactor($node) > 1) {
                return false;
            }
            $left = $this->recursionIsBalanced($node->left);
            $right = $this->recursionIsBalanced($node->right);

            if (!$left || !$right) {
                return false;
            }
        }

        return true;
    }

9.添加元素时的平衡原理

9.1 添加元素影响节点示意图

若向 二叉树 中添加元素，则只需判断该节点的 父亲节点 和 祖先节点 的 平衡因子 即可，如下图所示：

9.2 添加元素在左儿子左侧时右旋转示意图(LL)

Tips：如图所示，新添加的元素是在左儿子的左侧，此时 右旋转可以纠正平衡。

9.3 添加元素在右儿子右侧时左旋转示意图(RR)

Tips：如图所示，新添加的元素是在右儿子的右侧，此时 左旋转可以纠正平衡。

9.4 添加元素在左儿子右侧时先把左儿子左旋转再右旋转该节点（LR）

Tips：如图所示，新添加的元素是在左儿子的右侧，此时先把左儿子左旋转，再 右旋转该节点可以纠正平衡。

9.5 添加元素在右儿子左侧时先把右儿子右旋转再左旋转该节点（RL）

Tips：如图所示，新添加的元素是在右儿子的左侧，此时先把右儿子右旋转，再 左旋转该节点可以纠正平衡。

9.3 右旋转代码

    /** 对节点 r 进行右旋转操作，返回旋转后的节点
     *              35($r)                              25($m)
     *            /                                  /        
     *          25($m)    45                      15($n)      35($r)
     *        /               对35节点右旋转之后    /          /     
     *    15($n)   30($a)                       10     20   30($a)   45
     *    /   
     *  10     20
     *      对应的关系如下：
     *      $m = $r->left;
     *      $a = $m->right;
     *      $m->right = $r;
     *      $r->left = $a;
     */
    private function rightRotate($r)
    {
        $m = $r->left;
        $a = $m->right;
        $m->right = $r;
        $r->left  = $a;
        //右旋转之后只需要更新 $m 节点和 $r 节点的高度
        $r->height = $this->getHeight($r);
        $m->height = $this->getHeight($m);
        return $m;
    }

9.5 左旋转代码

    /** 对节点 r 进行右旋转操作，返回旋转后的节点
     *              35($r)                              25($m)
     *            /                                  /        
     *          25($m)    45                      15($n)      35($r)
     *        /               对35节点右旋转之后    /          /     
     *    15($n)   30($a)                       10     20   30($a)   45
     *    /   
     *  10     20
     *      对应的关系如下：
     *      $m = $r->left;
     *      $a = $m->right;
     *      $m->right = $r;
     *      $r->left = $a;
     */
    private function rightRotate($r)
    {
        $m = $r->left;
        $a = $m->right;
        $m->right = $r;
        $r->left  = $a;
        //右旋转之后只需要更新 $m 节点和 $r 节点的高度
        $r->height = $this->getHeight($r);
        $m->height = $this->getHeight($m);
        return $m;
    }

9.6 完整PHP代码

<?php
require $root . '/QueueByLinkedList/QueueByLinkedList.php';

class AVL
{
 private $root;
 private $size;

 /**
 * 构造函数 初始化 AVL
 * BinarySearchTree constructor.
 */
 public function __construct()
 {
 $this->root = null;
 $this->size;
 }

 /** 对节点 r 进行右旋转操作，返回旋转后的节点
 * 35($r) 25($m)
 * /  / 
 * 25($m) 45 15($n) 35($r)
 * /  对35节点右旋转之后 /  / 
 * 15($n) 30($a) 10 20 30($a) 45
 * / 
 * 10 20
 * 对应的关系如下：
 * $m = $r->left;
 * $a = $m->right;
 * $m->right = $r;
 * $r->left = $a;
 */
 private function rightRotate($r)
 {
 $m = $r->left;
 $a = $m->right;
 $m->right = $r;
 $r->left = $a;
 //右旋转之后只需要更新 $m 节点和 $r 节点的高度
 $r->height = $this->getHeight($r);
 $m->height = $this->getHeight($m);
 return $m;
 }

 /** 对节点 r 进行左旋转操作，返回旋转后的节点
 * 35($r) 45($m)
 * /  / 
 * 30 45($m) 35($n) 55($r)
 * /  对35节点左旋转之后 /  / 
 * 40($a) 55($n) 30 40 50($a) 60
 * / 
 * 50 60
 * 对应的关系如下：
 * $m = $r->right;
 * $a = $m->left;
 * $m->left = $r;
 * $r->right = $a;
 */
 private function leftRotate($r)
 {
 $m = $r->right;
 $a = $m->left;
 $m->left = $r;
 $r->right = $a;
 //左旋转之后只需要更新 $m 节点和 $r 节点的高度
 $r->height = $this->getHeight($r);
 $m->height = $this->getHeight($m);
 return $m;
 }

 /**
 * 判断二叉树是否为二分搜索树
 */
 public function isBST(): bool
 {
 $queue = new QueueByLinkedList();
 $this->inOrder($this->root, $queue);
 do {
 $e = $queue->dequeue();
 if ($queue->getSize() > 0 && $e > $queue->getFront()) {
 return false;
 }
 } while ($queue->getSize() > 0);

 return true;
 }

 /**
 * 判断二叉树是否为平衡二叉树
 * @return bool
 */
 public function isBalanced(): bool
 {
 return $this->recursionIsBalanced($this->root);
 }

 /**
 * 遍历二叉树 判断每个节点是否满足平衡因子绝对值 小于等于 1
 * @param $node
 * @return bool
 */
 private function recursionIsBalanced($node)
 {
 if ($node != null) {
 if ($this->getBalanceFactor($node) < -1 || $this->getBalanceFactor($node) > 1) {
 return false;
 }
 $left = $this->recursionIsBalanced($node->left);
 $right = $this->recursionIsBalanced($node->right);

 if (!$left || !$right) {
 return false;
 }
 }

 return true;
 }

 /**
 * 中序遍历二分搜索树
 */
 private function inOrder($root, $queue)
 {
 if ($root != null) {
 $this->inOrder($root->left, $queue);
 $queue->enqueue($root->e);
 $this->inOrder($root->right, $queue);
 }
 }

 /**
 * 获取 AVL 节点的高度 h
 * @param AVLNode $node
 * @return int
 */
 private function getHeight($node)
 {
 if ($node == null) {
 return 0;
 }
 return $node->height;
 }

 /**
 * 获取当前搜索树元素个数
 * @return mixed
 */
 public function getSize()
 {
 return $this->size;
 }

 /**
 * 判断当前 AVL 是否为空
 * @return bool
 */
 public function isEmpty(): bool
 {
 return $this->size == 0;
 }

 /**
 * 向 AVL 添加元素
 * @param $e
 */
 public function add($e)
 {
 $this->root = $this->recursionAdd($this->root, $e);
 }

 /**
 * 递归向 AVL 添加元素
 * @param Node $root
 * @param $e
 */
 private function recursionAdd($root, $e)
 {
 if ($root == null) { //递归到底的情况，若节点为空则添加元素 并且返回当前节点信息
 $root = new AVLNode($e);
 $this->size++;
 } elseif ($e < $root->e) { //若元素小于当前节点元素 则向左节点递归添加元素
 $root->left = $this->recursionAdd($root->left, $e);
 } elseif ($e > $root->e) { //若元素大于当前节点元素 则向右节点递归添加元素
 $root->right = $this->recursionAdd($root->right, $e);
 } //若元素等于当前节点元素 则什么都不做

 //更新节点高度
 $root->height = 1 + ($this->getHeight($root->left) > $this->getHeight($root->right) ? $this->getHeight($root->left) : $this->getHeight($root->right));

 //平衡的维护
 $balanceFactor = $this->getBalanceFactor($root);
 //LL 添加元素在左儿子左侧
 if ($balanceFactor > 1 && $this->getBalanceFactor($root->left) >= 0) {
 $this->rightRotate($root);
 }
 //RR 添加元素在右儿子右侧
 if ($balanceFactor < -1 && $this->getBalanceFactor($root->left) <= 0) {
 $this->leftRotate($root);
 }
 //LR 添加元素在左儿子右侧
 if ($balanceFactor > 1 && $this->getBalanceFactor($root->right) < 0) {
 //先把左儿子左旋转
 $root->left = $this->leftRotate($root->left);
 //再把该节点右旋转
 $root = $this->rightRotate($root);
 }
 //RL 添加元素在右儿子左侧
 if ($balanceFactor < -1 && $this->getBalanceFactor($root->right) < 0) {
 //先把右儿子右旋转
 $root->right = $this->leftRotate($root->right);
 //再把该节点左旋转
 $root = $this->leftRotate($root);
 }
 return $root;
 }

 /**
 * 获取节点平衡因子
 * @param AVLNode $node
 * @return int
 */
 private function getBalanceFactor($node)
 {
 if ($node == null) {
 return 0;
 }
 return $this->getHeight($node->left) - $this->getHeight($node->right);
 }

 /**
 * 判断 AVL 是否包含某个元素
 * @param $e
 * @return bool
 */
 public function contains($e): bool
 {
 return $this->recursionContains($this->root, $e);
 }

 /**
 * 递归判断 AVL 是否包含某元素
 * @param $root
 * @param $e
 * @return bool
 */
 private function recursionContains($root, $e): bool
 {
 if ($root == null) { //若当前节点为空 则表示不存在元素 $e
 return false;
 } elseif ($e == $root->e) { //若 $e 等于当前节点元素，则表示树包含元素 $e
 return true;
 } elseif ($e < $root->e) { //若 $e 小于当前节点元素，则去左儿子树递归查询是否包含节点
 return $this->recursionContains($root->left, $e);
 } else { //若 $e 大于当前节点元素，则去右儿子树递归查询是否包含节点
 return $this->recursionContains($root->right, $e);
 }
 }

 /**
 * 前序遍历
 */
 public function preTraversal()
 {
 $this->recursionPreTraversal($this->root, 0);
 }

 /**
 * 前序遍历的递归
 */
 public function recursionPreTraversal($root, $sign_num)
 {
 echo $this->getSign($sign_num);//打印深度
 if ($root == null) {
 echo "null<br>";
 return;
 }
 echo $root->e . "<br>"; //打印当前节点元素
 $this->recursionPreTraversal($root->left, $sign_num + 1);
 $this->recursionPreTraversal($root->right, $sign_num + 1);
 }

 /**
 * 中序遍历
 */
 public function midTraversal()
 {
 $this->recursionMidTraversal($this->root, 0);
 }

 /**
 * 中序遍历的递归
 */
 public function recursionMidTraversal($root, $sign_num)
 {
 if ($root == null) {
 echo $this->getSign($sign_num);//打印深度
 echo "null<br>";
 return;
 }

 $this->recursionMidTraversal($root->left, $sign_num + 1);
 echo $this->getSign($sign_num);//打印深度
 echo $root->e . "<br>";
 $this->recursionMidTraversal($root->right, $sign_num + 1);
 }

 /**
 * 后序遍历
 */
 public function rearTraversal()
 {
 $this->recursionRearTraversal($this->root, 0);
 }

 /**
 * 后序遍历的递归
 */
 public function recursionRearTraversal($root, $sign_num)
 {
 if ($root == null) {
 echo $this->getSign($sign_num);//打印深度
 echo "null<br>";
 return;
 }

 $this->recursionRearTraversal($root->left, $sign_num + 1);
 $this->recursionRearTraversal($root->right, $sign_num + 1);
 echo $this->getSign($sign_num);//打印深度
 echo $root->e . "<br>";
 }

 /**
 * 前序遍历压栈实现
 */
 public function preTraversalByStack()
 {
 $stack = new StackByLinkedList();
 //将根节点压入栈
 $stack->push($this->root);

 while (!$stack->isEmpty()) {
 //出栈
 $node = $stack->pop();
 if ($node != null) { //若出栈的当前节点不是空
 echo $node->e . "<br>"; //先入栈
 //先入栈右儿子
 $stack->push($node->right);
 //然后入栈左儿子
 $stack->push($node->left);
 } else { //若是空
 echo "null<br>";
 }
 }

 }

 /**
 * 中序遍历压栈实现
 */
 public function midTraversalByStack()
 {
 $stack = new StackByLinkedList();
 //将根节点压入栈
 $stack->push($this->root);
 //循环依次出栈
 $node = $stack->pop();

 do {
 if ($node != null) { //若出栈的当前节点不是空
 //先入栈右儿子
 $stack->push($node->right);
 echo $node->e . "<br>"; //然后打印当前节点信息
 //最后入栈左儿子
 $stack->push($node->left);
 } else { //若是空
 echo "null<br>";
 }
 //继续出栈
 $node = $stack->pop();
 } while (!$stack->isEmpty());
 }

 /**
 * 层序遍历实现
 */
 public function tierTraversalByLinkedList()
 {
 $queue = new QueueByLinkedList();
 //将根节点入队
 $queue->enqueue($this->root);
 //循环依次出队
 $node = $queue->dequeue();

 do {
 if ($node != null) { //若出栈的当前节点不是空
 echo $node->e . "<br>"; //然后打印当前节点信息
 $queue->enqueue($node->left);//左儿子入队
 $queue->enqueue($node->right);//右儿子入队
 } else { //若是空
 echo "null<br>";
 }
 //继续出队
 $node = $queue->dequeue();
 } while (!$queue->isEmpty());
 }

 /**
 * 获取最小元素
 * @return mixed
 */
 public function getMin()
 {
 return $this->getMinNode($this->root)->e;
 }

 /**
 * 获取某颗树最小元素节点
 * @param $root
 * @return mixed
 */
 private function getMinNode($root)
 {
 for ($node = $root; $node != null; $node = $node->left) {
 if ($node->left != null) {
 $root = $node->left;
 } else {
 $root = $node;
 }
 }
 return $root;
 }

 /**
 * 获取最大元素
 * @return mixed
 */
 public function getMax()
 {
 return $this->getMaxNode($this->root)->e;
 }

 /**
 * 获取某颗树最大元素节点
 * @param $root
 * @return mixed
 */
 private function getMaxNode($root)
 {
 for ($node = $root; $node != null; $node = $node->right) {
 if ($node->right != null) {
 $root = $node->right;
 } else {
 $root = $node;
 }
 }
 return $root;
 }

 /**
 * 删除 AVL 元素
 * @param $e
 */
 public function remove($e)
 {
 $this->root = $this->recursionRemove($this->root, $e);
 }

 /**
 * 递归删除 AVL 元素
 * @param $root
 * @param $e
 */
 private function recursionRemove($root, $e)
 {
 if ($root != null) {
 if ($e == $root->e) {
 $root = $this->joinRemoveNode($root);
 } elseif ($e < $root->e) {
 $root->left = $this->recursionRemove($root->left, $e);
 } else {
 $root->right = $this->recursionRemove($root->right, $e);
 }
 }
 return $root;
 }

 /**
 * 拼接删除节点 返回新节点
 */
 private function joinRemoveNode($root)
 {

 if ($root->left != null && $root->right == null) {
 $root = $root->left;
 } elseif ($root->left == null && $root->right != null) {
 $root = $root->right;
 } else {
 $leftMax = $this->getMaxNode($root->left);
 $leftMax->right = $root->right;
 $root = $root->left;
 }
 return $root;
 }

 public function getSign($num)
 {
 $str = "";
 for ($i = 0; $i < $num; $i++) {
 $str .= "-----";
 }

 return $str;
 }
}

class AVLNode
{
 public $e;
 public $left = null;
 public $right = null;
 public $height = 1;

 /**
 * 构造函数 初始化节点数据
 * Node constructor.
 * @param $e
 */
 public function __construct($e)
 {
 $this->e = $e;
 }
}

10.输出演示

<?php
require 'AVL.php';
$avl = new AVL();

for ($i = 1; $i <= 3; $i++) { //按顺序添加元素
 $avl->add($i);
}

var_dump($avl->isBST());//判断是否为二分搜索树
var_dump($avl->isBalanced());//判断是否平衡

演示如下：

代码仓库 ：https://gitee.com/love-for-poetry/data-structure

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