无向图的深度优先搜索和广度优先搜索

Posted 2021-04-11 算法组

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无向图

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定义

在数学上，一个图（Graph）是表示物件与物件之间的关系的方法，是图论的基本研究对象。一个图看起来是由一些小圆点（称为顶点或结点）和连结这些圆点的直线或曲线（称为边）组成的。

如果给图的每条边规定一个方向，那么得到的图称为有向图，其边也称为有向边。在有向图中，与一个节点相关联的边有出边和入边之分，而与一个有向边关联的两个点也有始点和终点之分。相反，边没有方向的图称为无向图。

某个顶点的度数即为连接它的边的总数。路径或者环的长度为其中所包含的边数。

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代码

我们可以抽象出以下的表示图的API：

Graph的API的实现可以由多种不同的数据结构来表示，最基本的是维护一系列边的集合，如下：

还可以使用邻接矩阵来表示：

也可以使用邻接列表来表示：

由于采用如上方式具有比较好的灵活性，采用邻接列表来表示的话，可以定义如下数据结构来表示一个Graph对象。

https://github.com/tclxspy/Articles/blob/master/algorithm/Code/Graph.java

采用以上三种表示方式的效率如下：

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深度优先搜索

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原理

在谈论深度优先算法之前，我们可以先看看迷宫探索问题。下面是一个迷宫和图之间的对应关系： 迷宫中的每一个交会点代表图中的一个顶点，每一条通道对应一个边。

迷宫探索可以采用Trémaux绳索探索法。即：

• 选择一条没有标记过的通道，在你走过的路上铺一条绳子；
• 标记所有你第一次路过的路口和通道；
• 当来到一个标记过的路口时（用绳子）回退到上个路口；
• 当会退到的路口已经没有可走的通道时继续回退。

图示如下：

下面是迷宫探索的一个小动画：

接下来我们看图的搜索方法。

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代码

定义一个edgesTo变量来后向记录所有到s的顶点的记录，和仅记录从当前节点到起始节点不同，我们记录图中的每一个节点到开始节点的路径。为了完成这一日任务，通过设置edgesTo[w]=v，我们记录从v到w的边，换句话说，v-w是最后一条从s到达w的边。 edgesTo[]其实是一个指向其父节点的树。

https://github.com/tclxspy/Articles/blob/master/algorithm/Code/DepthFirstSearch.java

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广度优先搜索

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原理

我们很自然地还经常对下面这些问题敢兴趣。

单点最短路径。给定一幅图和一个起点s，回答“从s到给定目的顶点v是否存在一条路径？如果有，找出其中最短的那条等类似问题。”

解决这个问题的经典方法叫做广度优先搜索。

其主要原理是：

• 将 s放到FIFO中，并且将s标记为已访问
• 重复直到队列为空
• 移除最近最近添加的顶点v
• 将v未被访问的节点添加到队列中
• 标记他们为已经访问

广度优先是以距离递增的方式来搜索路径的。

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代码

https://github.com/tclxspy/Articles/blob/master/algorithm/Code/BreadthFirstSearch.java

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总结

本文简要介绍了无向图中的深度优先和广度优先算法，这两种算法时图处理算法中的最基础算法，也是后续更复杂算法的基础。它们搜索路径如下：