定义新运算！如下：对于两个自然数a和b，他们的最大公约数和最小公倍数的差记为a！b。10！14=70减2=68

Posted 2023-05-12

（1）求12！14和5！15的值是多少
（2）说明，如果c整除a和b，则c也整除a！b；如果c整除a和a！b,则c也整除b
（3）已知6！a=27,求a的数值
急急急，要有解题过程，看懂采纳

∵gcd（12,14）=2，gcd（5,15）=5

∴12！14=（12×14）/2-2=82

5！15=（5×15）/5-5=10

①证明：∵c|a，c|b

∴c是a的约数、c是b的约数

c|lcm[a，b]，c|gcd(a，b)

∴c|lcm[a，b]-gcd(a，b)

即c|a！b

∵6！a=27

设gcd（6，a）=k

∴6a/k-k=27

∵6的正约数有1、2、3、6

∴k∈1,2,3,6

当k=1时

6a-1=27

解得a=14/3，不是整数，舍去

含义

两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中除0以外最小的一个公倍数就叫做这几个整数的最小公倍数。整数a，b的最小公倍数记为[a，b]，同样的，a，b，c的最小公倍数记为[a，b，c]，多个整数的最小公倍数也有同样的记号。

与最小公倍数相对应的概念是最大公约数，a，b的最大公约数记为（a，b）。关于最小公倍数与最大公约数，我们有这样的定理：(a,b)x[a,b]=ab(a,b均为整数)。

参考技术A 【仅供参考】
看你的表述和举例，应该是“gcd和lcm的差的绝对值”
(I)
∵gcd（12,14）=2，gcd（5,15）=5
∴12！14=（12×14）/2-2=82
5！15=（5×15）/5-5=10
(II)
①证明：∵c|a，c|b

∴c是a的约数、c是b的约数
c|lcm[a，b]，c|gcd(a，b)
∴c|lcm[a，b]-gcd(a，b)
即c|a！b
②证明：
∵c|a，c|a！b
∴c|lcm[a，b]-gcd(a，b)，c|lcm[a，b]
∴c|gcd(a，b)
∴c|b
(III)
∵6！a=27
设gcd（6，a）=k
∴6a/k-k=27
∵6的正约数有1、2、3、6
∴k∈1,2,3,6
①当k=1时
6a-1=27
解得a=14/3，不是整数，舍去
②当k=2时
3a-2=27
解得a=29/3，不是整数，舍去
③当k=3时
2a-3=27
解得a=15
此时k=gcd（6,15）=3，符合题意
④当k=6时
a-6=27
解得a=33
此时k=gcd（6,33）=3，不符合题意，舍去
综上所述，a=15本回答被提问者和网友采纳

数字问题2：最大公约数

这个是最经典的数字的问题，在很多地方都能见到这个题目

求出两个数的最大公约数，如果有一个自然数a能被自然数b整除，则称a为b的倍数，b为a的约数。几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个公约数，称为这几个自然数的最大公约数。

第一种思路是根据最大公约数的定义，辗转相除法，从比较小的整数开始，向下–，直到找到满足要求的整数，如果都不满足，就返回1. 这样做的运算量比较大，效率比较低，更高效一点的是更相减损术。

1. 辗转相除法

 public int gcd (int a, int b) {
        // write code here
        int min=a>b?b:a;
        for(int i=min;i>=1;i--){
           if(a%i==0 && b%i==0){
               return i;
           } 
        }
        return 1;
    }

2. 更相减损数

上面的方式需要进行大量的取模运算，一种更为简单的方式是只用减法：

 public int gcd (int a, int b) {
        // write code here
           while(a != b){
            if(a > b)
                a -= b;
            else
                b -= a;
        }
        return a;
    }