一个不错的深度优先搜索的题目

Posted 2021-04-11 沙茶敏碎碎念

算法的本质不是背诵一个套路，而是去分析解决问题

题目：

一只来自南极的考古企鹅Q哥来到了北极，发现了一块石碑，上面记录着这样的故事：很久很久以前，有一个等级森严的企鹅王国，他们的社会关系可以抽象成一棵树。石碑还刻着一行字，上面写着每个人的上级如下面序列，接下来是一个长度为N的序列，每个元素都是一个数字。Q哥发现，这个序列好像有问题，因为按照这个序列画出来的不一定是一颗树，猜想有部分刻错了，现在给你一个序列，能否帮忙算出最少有多少个元素刻错了。

说明：

对于一颗这样的树，序列为[4,3,3,2],表示1的父节点是2，2的父节点是3，3的父节点是它本身3，4的父节点是2。

样例，序列上有4个元素，序列如下[2 3 3 4]，那么最少有一处纰漏，一个合法的解是[2 3 4 4].如下图所示：

思考：

我们反过来进行思考，如果一个序列是合法的？那是长什么样子的呢？

1.最多只有一个点指向本身，那就是根节点

2.如果这些边是无向边，那么这N个点是连通的（两两可互相到达）

给定一个序列，我们把这个图画出来，如果分割成多部分，如果分割成多部分，我们需要将多个部分进行合并，我们有以下的策略：

1.找到一个自己指向自己的点，让它来做树根。（只有树根是自己指向自己的）

2.把图划分成多个连通块，将他们都指向树根

这里有一个隐藏的性质:对于每一个联通块，必然存在一个环 。怎么推导出这个性质呢？一个n个结点的树有n-1条边，那么再加上一个点必定存在环。

那么怎么找到一个联通块呢，这里我们使用深度优先搜索算法，DFS。在这个题目中，我们找到所有有自环的点，进行深度优先搜索，可以把整个联通块找出来。我们用sonNode[i][j]表示第i个结点，第j个儿子的编号是多少。代码如下（C++）：

有没有可能存在没有自环边的联通块呢？有的！上图右上角就是另外一种情况，这种情况下，我们需要找到一条环边。怎么找呢？我们也是使用深度优先搜索，我们随便找这个环里面的任何一个结点，进行深度优先搜索，如果重新访问到一个已经访问的结点，那么就说明存在环了。下面是深度优先搜索的代码(C++)。

因为图中可能存在多个连通块，所以我们还需要遍历所有的结点，找到所有连通块的个数，下面是算法步骤。

1.找到一个没有访问的自环结点（父亲是他本身）

2.如果没有找到一个环边结点

3.遍历活获得整个连通块

4.判断是否所有结点都已经访问，否则执行1

好了，到此为止，我们把整个题目已经梳理出来了，如果有什么疑问，欢迎在评论区提问，如果你觉得我讲的不错，也可以关注我，后面会持续推出各类算法题。