矩阵的乘法运算

Posted 2023-05-12

参考技术A 大多数人在高中，或者大学低年级，都上过一门课《线性代数》。这门课其实是教矩阵。
刚学的时候，还蛮简单的，矩阵加法就是相同位置的数字加一下。

矩阵减法也类似。
矩阵乘以一个常数，就是所有位置都乘以这个数。
但是，等到矩阵乘以矩阵的时候，一切就不一样了。
这个结果是怎么算出来的？
教科书告诉你，计算规则是，第一个矩阵第一行的每个数字（2和1），各自乘以第二个矩阵第一列对应位置的数字（1和1），然后将乘积相加（ 2 x 1 + 1 x 1），得到结果矩阵左上角的那个值3。
也就是说，结果矩阵第m行与第n列交叉位置的那个值，等于第一个矩阵第m行与第二个矩阵第n列，对应位置的每个值的乘积之和。
怎么会有这么奇怪的规则？
我一直没理解这个规则的含义，导致《线性代数》这门课就没学懂。研究生时发现，线性代数是向量计算的基础，很多重要的数学模型都要用到向量计算，所以我做不了复杂模型。这一直让我有点伤心。

前些日子，受到一篇文章的启发，我终于想通了，矩阵乘法到底是什么东西。关键就是一句话，矩阵的本质就是线性方程式，两者是一一对应关系。如果从线性方程式的角度，理解矩阵乘法就毫无难度。
下面是一组线性方程式。
矩阵的最初目的，只是为线性方程组提供一个简写形式。
老实说，从上面这种写法，已经能看出矩阵乘法的规则了：系数矩阵第一行的2和1，各自与 x 和 y 的乘积之和，等于3。不过，这不算严格的证明，只是线性方程式转为矩阵的书写规则。
下面才是严格的证明。有三组未知数 x、y 和 t，其中 x 和 y 的关系如下。
x 和 t 的关系如下。
有了这两组方程式，就可以求 y 和 t 的关系。从矩阵来看，很显然，只要把第二个矩阵代入第一个矩阵即可。
从方程式来看，也可以把第二个方程组代入第一个方程组。
上面的方程组可以整理成下面的形式。
最后那个矩阵等式，与前面的矩阵等式一对照，就会得到下面的关系。
矩阵乘法的计算规则，从而得到证明。
来源：阮一峰的网络日志

113.实矩阵乘法运算

#include "stdio.h"
#define MAX 255
void MatrixMul(a,b,m,n,k,c)  /*实矩阵相乘*/
int m,n,k; /*m:矩阵A的行数, n:矩阵B的行数, k:矩阵B的列数*/
double a[],b[],c[]; /*a为A矩阵, b为B矩阵, c为结果，即c = AB */

	int i,j,l,u;
	/*逐行逐列计算乘积*/
	for (i=0; i<=m-1; i++)
		for (j=0; j<=k-1; j++)
		
			u=i*k+j; c[u]=0.0;
			for (l=0; l<=n-1; l++)
				c[u]=c[u]+a[i*n+l]*b[l*k+j];
		
	return;




main()

	int i,j,m,n,k;
	double A[MAX];
	double B[MAX];
	double C[MAX];
	for(i=0;i<MAX;i++)
		C[i]=1.0;
	clrscr();
	puts("This is a real-matrix-multiplication program.\\n");
	puts("It calculate the two matrixes C(m*k)=A(m*n)B(n*k).\\n");
	printf(" >> Please input the number of rows in A, m= ");
	scanf("%d",&m);
	printf(" >> Please input the number of cols in A, n= ");
	scanf("%d",&n);
	printf(" >> Please input the number of cols in B, k= ");
	scanf("%d",&k);
	printf(" >> Please input the %d elements in A one by one:\\n",m*n);
	for(i=0;i<m*n;i++)
		scanf("%lf",&A[i]);
	printf(" >> Please input the %d elements in B one by one:\\n",n*k);
	for(i=0;i<n*k;i++)
		scanf("%lf",&B[i]);

	MatrixMul(A,B,m,n,k,C); /*计算C的结果*/
	/*格式化输出结果*/
	printf("\\n >> The result of C(%d*%d)=A(%d*%d)B(%d*%d) is:\\n",m,k,m,n,n,k);
	for (i=0; i<m; i++)
	
		for (j=0; j<k; j++)
			printf("%10.5f    ",C[i*k+j]);
		printf("\\n");
	
	printf("\\n Press any key to quit...\\n");
	getch();
	return 0;