用动态规化或者深度优先算法来数2英镑有多少种组合方法

Posted 2021-04-11 小赖子英国生活和资讯

英国的英镑硬币有 1p, 2p, 5p, 10p, 20p, 50p, £1 (100p), 和 £2 (200p). 比如我们可以用以下方式来组成2英镑

1×£1 + 1×50p + 2×20p + 1×5p + 1×2p + 3×1p

问：一共有多少种方式可以组成2英镑？注意 不能有重复，比如 1英镑+2个50P 和 50P+50P+1英镑是一样的。

深度优先算法来数硬币

深度优先也就是 Depth First Search, 在计算机中是个很经常用到的搜索算法。我们可以假定以下函数 f(a, l) 来计算需要组成钱数 a, 上一个硬币的数值是 l 的方式总数。
f(a, l) = \sum_{i=1}^{l} f(a-i, i)

边界值 f(0, x) 上 1. 我们可以假定每一次选择的硬币不能比上一次的大。

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function dfs(amount, last) {     if (amount === 0) return 1;     const coins = [1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200];     let ans = 0;     for (let x of coins) { // 尝试每一种硬币         if (now - x >= 0 && x <= last) { // 不大于上一个硬币             ans += dfs(amount - x, x);  // 递归深度优先         }     }     return ans; }   console.log(dfs(200, 200));

通过计算 得到答案 73682. 当然我们也可以每次尝试不小于上一个硬币（相反方向）

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function dfs(amount, last) {     if (amount === 0) return 1;     const coins = [1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200];     let ans = 0;     for (let x of coins) { // 尝试每一种硬币         if (now - x >= 0 && x >= last) { // 不小于上一个硬币             ans += dfs(now - x, x); // 递归深度优先         }     }     return ans; }   console.log(dfs(200, 0));

通过动态规化算法来数硬币

递归求解中间有一些节点会被重复计算，费时费力。我们可以用一个哈希表（或者字典）来存放这些已经计算过的值。很多情况下，递归+记忆就是动态规化了。

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function dfs(amount, last, cached = {}) {     if (amount === 0) return 1;     const coins = [1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200];     // 如果这个值已经被计算了     if (typeof cached[amount + "-" + last] !== "undefined") {         // 就直接返回值。         return cached[amount + "-" + last];     }     let ans = 0;     for (let x of coins) {         if (now - x >= 0 && x >= last) {             ans += dfs(amount- x, x, cached);         }     }     // 把这次计算好的值存起来以备将来调用     cached[amount + "-" + last] = ans;     return ans; }   console.log(dfs(200, 0));

我们还可以用数组迭代的方式，来实现动态规化，以下JS代码就不需要任何递归，我们用数组f[x]来表示能组成钱币x的方案数，只需要两层循环累加计数即可。

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function dp(amount) {     let f = Array(amount + 1).fill(0);     f[0] = 1;     for (let x of [1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200]) {         for (let a = x; a <= amount; ++ a) {             f[a] += f[a - x];         }     }     return f[amount]; }

该算法的时间复杂度是 O(NM) N是硬币的类别数量，M是我们要算的总金额，空间复杂度是 O(M).

同步到博文：https://justyy.com/archives/32222

英文：https://helloacm.com/how-many-different-ways-can-2-be-made-using-any-number-of-coins-depth-first-search-and-dynamic-programming/

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