求解具有n个结点的完全二叉树的深度，写出计算过程

Posted 2023-05-12

具有n个结点的完全二叉树的深度为「log2n」+1

计算过程如下：

采用数学归纳法证明。

当n=1=2^1-1时，命题成立。

假设当n<=2^k-1时具有n个结点的完全二叉树的深度为「log2n」+1,

则当n=2^k（以及2^k+1,...,2^(k+1)-1）时，由归纳假设知：

前2^k-1个结点构成深度为「log2n」+1的树；

再由完全二叉树的定义知：

剩余的1（或2,...,2^k)个结点均填在第「log2n」+2层上（作为“叶子”），深度刚好增加了1，

故n<=2^(k+1)-1时，命题成立。

扩展资料：

二叉树是一种树型结构，它的特点是每个结点至多只有二棵子树（即二叉树中不存在度大于2的结点），并且，二叉树的子树有左右之分，其次序不能任意颠倒。

二叉树的性质

1、在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点；

2、深度为k的二叉树至多有2k-1个结点（k>=1）； 

3、对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为N0，度为2的结点数为N2，则N0=N2+1；

4、具有n个结点的完全二叉树的深度为「log2n」+1。

参考资料来源：百度百科—二叉树

参考技术A 具有n个结点的完全二叉树的深度为「log2n」+1 ！！！

二叉树的计算方法：

若一棵二叉树为空,则其深度为0,否则其深度等于左子树和右子树的最大深度加1,即有如下递归模型:

depth(b)=0 /*如果b=NULL*/

depth(b)=max(depth(b->left,b->right)+1 /*其它*/

因此求二叉树深度的递归函数如下:

int depth(btree *b)



int dep1,dep2;

if(b==NULL)return(0);

else

dep1=depth(b->left);

dep2=depth(b->right);

if(dep1>dep2)return(dep1+1);

else return(dep2+1);





二叉树的基本性质

★树的基本定义

1、树是n(n>=0)个结点的有限集

2、树的结点包含一个数据元素及若干指向其子树的分支

3、结点拥有的子树数称为结点的度

4、度为0的结点称为叶子或终端结点

5、树的度是树内各结点的度的最大值

6、结点的层次从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层

7、树中结点的最大层次称为树的深度或高度

8、如果将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的（即不能互换），则称该树为有序树，否则称为无序树。在有序树中，最左边的子树的根称为第一个孩子，最右边的称为最后一个孩子。

★二叉树的定义

二叉树是一种树型结构，它的特点是每个结点至多只有二棵子树（即二叉树中不存在度大于2的结点），并且，二叉树的子树有左右之分，其次序不能任意颠倒。

★二叉树的性质

性质一 在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点

性质二 深度为k的二叉树至多有2k-1个结点（k>=1）

性质三 对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1

性质四 具有n个结点的完全二叉树的深度为「log2n」+1

性质五 如果对一棵有n个结点的完全二叉树（其深度为「log2n」+1）的结点按层序编号（从第1层到第「log2n」+1层，每层从左到右），则对任一结点i（1≤i≤n），有

①如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲PARENT(i)是结点「i/2」

②如果2i>n，则结点n无左孩子（结点i为叶子结点）；否则其左孩子LCHILD(i)是结点2i

③如果2i+1>n，则结点i无右孩子，否则其右孩子RCHILD(i)是结点2i+1

★先序遍历二叉树的操作定义

若二叉树为空，则空操作，否则

(1)访问根结点

(2)先序遍历左子树

(3)先序遍历右子树

★中序遍历二叉树的操作定义

若二叉树为空，则空操作，否则

(1)中序遍历左子树

(2)访问根结点

(3)中序遍历右子树

★后序遍历二叉树的操作定义

若二叉树为空，则空操作，否则

(1)后序遍历左子树

(2)后序遍历右子树

(3)访问根结点本回答被提问者和网友采纳 参考技术B 具有n个结点的完全二叉树的深度为「log2n」+1 计算过程如下： 采用数学归纳法证明。当n=1=2^1-1时，命题成立。假设当n^k-1时具有n个结点的完全二叉树的深度为「log2n」+1, 则当n=2^k（以及2^k+1,.,2^(k+1)-1）时，由归纳假设知： 前2^k-1个结点构成深度为「log2n」+1的树；再由完全二叉树的... 参考技术C K层完全二叉树，就是前（K-1）层为满二叉树，第K层均为叶结点，可以不满。所以结点与深度的关系为：
2 ^ ( K - 1 ) - 1 < n <= 2 ^ K - 1。 所以K = [ ( n + 1 ) 以 2 为底取对数，然后向上取整 ]。 参考技术D 结论：⌊log2k⌋+1

数据结构期末复习——树与二叉树一些知识点

1. 满二叉树：一棵深度为k 且有({2^k - 1 })个结点的二叉树。（特点：每层都“充满”了结点）
2. 完全二叉树：深度为k 的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k 的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应.
3. 具有n个结点的完全二叉树的深度为log2(n)向下取整 + 1.
4. 满二叉树和完全二叉树的区别:满二叉树是叶子一个也不少的树，而完全二叉树虽然前n-1层是满的，但最底层却允许在右边缺少连续若干个结点。满二叉树是完全二叉树的一个特例.
5. 完全二叉树中度数为1的结点的个数为0或者为1。
6. 在非空二叉树中，第i层的结点总数不超过({2^{i-1}}), i>=1.
7. 深度为h的二叉树最多有({2^h -1})个结点(h>=1)，最少有h个结点.
8. 对于任意一棵二叉树，如果其叶结点数为N0，而度数为2的结点总数为N2，则N0=N2+1；
9. 问题：具有1102个结点的完全二叉树的一定有___个叶子结点。
   分析：
   边数m=n-1，那么m = n1 + 2×n2；
   而在完全二叉树中度数为1的点只有1个或0个，所以代入0或1，当n2为整数时得出n2的值，
   再利用n0=n2+1可得叶子结点的个数。