算法的魅力—从二分查找和最长公共子序列说起

Posted 2021-04-10 Python那些事

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了算法的魅力—从二分查找和最长公共子序列说起相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

有句话说的好，算法是程序的灵魂。是的，在做开发时，尤其是代码重构或者架构设计时，算法是必不可少的内容。最近读了两本算法书，内容非常不错，推荐给大家。一本是《算法图解》，用讲故事的方式展示算法的魅力：

另外一本是《高效算法》，能够让你更全面的了解数据结构和算法：

算法的魅力—从二分查找和最长公共子序列说起

两本书的代码大部分是基于Python语言的，这里分别从两本书中摘录一部分给大家，可以让大家感受一下算法的魅力。

二分查找

又假设要在字典中找一个以O打头的单词，你也将从中间附近开始。

现在假设你登录Facebook。当你这样做时，Facebook必须核实你是否有其网站的账户，因此必须在其数据库中查找你的用户名。如果你的用户名为karlmageddon，Facebook可从以A打头的部分开始查找，但更合乎逻辑的做法是从中间开始查找。

这是一个查找问题，在前述所有情况下，都可使用同一种算法来解决问题，这种算法就是二分查找。

下面的示例说明了二分查找的工作原理。我随便想一个1～100的数字。

算法的魅力—从二分查找和最长公共子序列说起

一种糟糕的猜数

这是简单查找，更准确的说法是傻找。每次猜测都只能排除一个数字。如果我想的数字是99，你得猜99次才能猜到！

更佳的查找方式

下面是一种更佳的猜法。从 50开始。

算法的魅力—从二分查找和最长公共子序列说起

小了，但排除了一半的数字！至此，你知道1～50都小了。接下来，你猜75。

算法的魅力—从二分查找和最长公共子序列说起

大了，那余下的数字又排除了一半！使用二分查找时，你猜测的是中间的数字，从而每次都将余下的数字排除一半。接下来，你猜63（50和75中间的数字）。

算法的魅力—从二分查找和最长公共子序列说起

这就是二分查找，你学习了第一种算法！每次猜测排除的数字个数如下。

算法的魅力—从二分查找和最长公共子序列说起

使用二分查找时，每次都排除一半的数字

不管我心里想的是哪个数字，你在7次之内都能猜到，因为每次猜测都将排除很多数字！

假设你要在字典中查找一个单词，而该字典包含240 000个单词，你认为每种查找最多需要多少步？

如果要查找的单词位于字典末尾，使用简单查找将需要240 000步。使用二分查找时，每次排除一半单词，直到最后只剩下一个单词。

算法的魅力—从二分查找和最长公共子序列说起

因此，使用二分查找只需18步——少多了！一般而言，对于包含n个元素的列表，用二分查找最多需要log2n步，而简单查找最多需要n步。

下面来看看如何编写执行二分查找的Python代码。这里的代码示例使用了数组。如果你不熟悉数组，也不用担心，你只需知道，可将一系列元素存储在一系列相邻的桶（bucket），即数组中。这些桶从0开始编号：第一个桶的位置为#0，第二个桶为#1，第三个桶为#2，以此类推。

函数binary_search接受一个有序数组和一个元素。如果指定的元素包含在数组中，这个函数将返回其位置。你将跟踪要在其中查找的数组部分——开始时为整个数组。

算法的魅力—从二分查找和最长公共子序列说起

low = 0
high= len(list) - 1

你每次都检查中间的元素。

mid = (low + high) / 2
guess= list[mid]

如果(low+ high)不是偶数，Python自动将mid向下圆整。

如果猜的数字小了，就相应地修改low。

算法的魅力—从二分查找和最长公共子序列说起

if guess < item:
   low = mid +1

如果猜的数字大了，就修改high。完整的代码如下。

算法的魅力—从二分查找和最长公共子序列说起

你感受到算法的魅力了吗？

最长公共子序列

最长公共子序列（LCS）是一个在一个序列集合中（通常为两个序列）用来查找所有序列中最长子序列的问题。何为子序列？从字面意思可以拆分为两部分，子和序列。子说明是原先的序列的一部分，而序列说明是顺序的，需要保持顺序一致。比如，对于字符串 python , pytn 则是其子序列，pynt则不是。

何为最长子序列？顾名思义，两个序列的所有子序列中最长的。下面这种解释可能会更好理解。

算法的魅力—从二分查找和最长公共子序列说起

问题的解法是采用动态规划，相信大家应该比较熟悉。当 n＝ |x|和 m＝ |y|时，对于所有 0≤i≤n和 0≤j≤m，我们计算前缀 x1… xi和 y1…yj的最长公共子序列。这就得到一个复杂度为 n·m的子问题。基于 (i-1,j)、(i,j-1)和 (i-1,j-1)在常数时间内得到的解，就能得到 (i,j)的最优解。因此，我们可以在时间 O(nm)内解决问题 (n,m)。

设序列 x1,…,xi和 y1,…,yj的最长公共子序列为 A[i,j]。在 i= 0或 j= 0时，A[i,j]为空。当 xi≠yj时，xi和 xj中的一个肯定不在最优解中，而且 A[i,j]是 A[i-1,j]和 A[i,j-1]中最长的序列 A。当 xi＝ yj 时，存在一个最优解使得字符相关，而且 A[i,j]等于 A[i-1,j-1]·xi。这里的符号“·”表示字符串拼接。使用 maximum函数可以让最长序列延伸。

具体的Python代码如下：

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