浅入深出谈二分！二分查找？

Posted 2021-04-10 智南IT

对于第一次接触机试的人来说，二分可能没有听说过，那么二分查找？emmm，数据结构课程上就都听说过了！接下来就从简单的二分查找开始，逐步讲解二分！(另外附加比较零碎又特别重要的知识点，前缀和)

二分查找(可以用作二分模板)

直接代码：

int find(int a[],int n,int key){//查找大于等于key的最小值下标  int l=1;int r=n; while(l<=r){ int mid=(l+r)/2; if(a[mid]==key){ return mid; }else if(key>a[mid]){ l=mid+1; }else{ r=mid-1; }  }//此循环没有查找到key时候结束，此时l必定比r大1，  //有兴趣可以自己调试验证 return l;}

当要查找小于等于key的最大值下标时候，这需要将上述代码第十四行改成return r;

那么什么是二分？为什么要用二分？

二分同样也要求单调性，二分查找可以说是二分中一个特殊的例子！

用二分查找来举例子，如果不用二分，就需要O(n)线性复杂度，采用二分，就只需要O(logn)复杂度，答案就出来了，就是为了提高效率。

在进行例题前，需要补充另一个知识点，前缀和。对于给定一个数列A，它的前缀和数列sum的定义就是，sum[i]=A[1]+A[2]+.....+A[i]。那么对于某个区间和sum(l,r)=A[l]+A[l+1]+....+A[r]=sum[r]-sum[l-1]。

聪明的质监员(前缀和+二分)

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/16597
来源：牛客网

小T是一名质量监督员，最近负责检验一批矿产的质量。这批矿产共有n个矿石，从1到 n 逐一编号，每个矿石都有自己的重量w_i以及价值v_i。检验矿产的流程是：
1、给定m个区间[L_i，R_i]；
2、选出一个参数W；

3、对于一个区间[L_i，Ri]，计算矿石在这个区间上的检验值 Y_i ：

Yi=∑j1∗∑jvj Y i = ∑ j 1 ∗ ∑ j v j 且w_j≥W，j是矿石编号

这批矿产的检验结果Y为各个区间的检验值之和。即：Y=∑mi=1Yi Y = ∑ i = 1 m Y i
若这批矿产的检验结果与所给标准值S相差太多，就需要再去检验另一批矿产。小T不想费时间去检验另一批矿产，所以他想通过调整参数W的值，让检验结果尽可能的靠近标准值S，即使得S-Y的绝对值最小。请你帮忙求出这个最小值。

输入描述:

第一行包含三个整数 n，m，S，分别表示矿石的个数、区间的个数和标准
值。接下来的n行，每行2个整数，中间用空格隔开，第i+1行表示i号矿石
的重量wi和价值vi 。接下来的m行，表示区间，每行2个整数，中间用空
格隔开，第i+n+1行表示区间[Li,Ri]的两个端点Li和Ri。注意：不同区间
可能重合或相互重叠。

输出描述:

输出只有一行，包含一个整数，表示所求的最小值。

【样例】

输入

5 3 15
1 5
2 5
3 5
4 5
5 5
1 5
2 4
3 3

输出

10

对于 100%的数据，有 1 ≤ n，m ≤ 200,000，0 < w_i, v_i ≤ 10⁶，0 < S ≤ 10¹²，1 ≤ L_i ≤ R_i ≤ n。

解释：n表示有5个矿石，他们一次重量和价值为：

重量w：1    2    3    4    5

价值v：5    5    5    5    5

当 W选4的时候，三个区间上检验值分别为20、5、0，这批矿产的检验结果为25，此时与标准值S相差最小为10。

20：第一个区间是1到5，w选4，其中四号和五号矿山重量大于4，因此大于等于4的矿石数为2，且四号和五号矿石价值和为10，因此第一个检验值为20；

5：第二个区间为2到4，只有四号矿石重量大于等于4，数量1，价值为5，因此第二个区间检验值为5。

单调性证明：我们二分的是参数w，当w越大时候，区间能满足大于等于w的石头个数就越少，因此Y值就越小，因此w和Y成反比。要使Y-S的绝对值最小，相对于二分查找，找一个关键字为S的Y，Y与w单调一一对应，对于w对应的Y值，要调整，只需要调整w值。

复杂度说明：w的最大值为1e6，二分大概计算1e3次，对于循环里面，利用前缀和可以优化为O(n)复杂度，因此需要计算2e5次，因此一共需要计算2e8次，正好印证了第0章中，第1个技巧，程序大概计算1e7-1e8次。

具体代码：

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define MAXN 200007
long long n,m,S;int w[MAXN],v[MAXN];int ll[MAXN],rr[MAXN];//ll和rr记录各个区间 long long s[MAXN];//s[i]表示，前i(包括i)个石头中质量大于w的价值和 long long num[MAXN];//num[i]表示，前i(包括i)个石头中质量大于w的个数和 int main(){ long long ans=2e18; cin>>n>>m>>S; int l=1e9;//l为最小w  int r=0;//r为最大w  for(int i=1;i<=n;i++){ scanf("%d%d",&w[i],&v[i]); l=min(l,w[i]); r=max(r,w[i]); } for(int i=1;i<=m;i++){ scanf("%d%d",&ll[i],&rr[i]); } while(l<=r){ int mid=(l+r)/2;//二分，寻找合适的w   memset(num,0,sizeof(num));//置0  memset(s,0,sizeof(s)); //利用前缀和来求Y,时间复杂度为O(n)  for(int i=1;i<=n;i++){//求前缀和  if(w[i]>=mid){ num[i]=num[i-1]+1; s[i]=s[i-1]+v[i]; }else{ num[i]=num[i-1]; s[i]=s[i-1]; } }    long long Y=0;//必须用long long，数据已经超过2e9 for(int i=1;i<=m;i++){//利用前缀和快速求Y  Y+=(num[rr[i]]-num[ll[i]-1])*(s[rr[i]]-s[ll[i]-1]); } if(Y>S){//与二分查找模板类似  ans=min(ans,Y-S); l=mid+1; }else if(Y<S){//Y小了一点，说明w也就是mid值大了一点    //更适合的w在更小的地方，因此改变右区间 ans=min(ans,S-Y); r=mid-1; }else{ ans=0; break; } } printf("%lld",ans); return 0;}

二分练习：https://ac.nowcoder.com/acm/skill/detail/noip-pj/1282 https://ac.nowcoder.com/acm/skill/detail/noip-pj/1282

下一节预告：差分数组+二分