不仅仅是算法--二分查找（binary search）的心路历程

Posted 2021-04-10 前端小苑

 

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        文章将结合面试的真实经历进行描述——你以为我想考你二分查找，其实我只想知道你是不是我要招的人？思路是否清晰？想法是否开阔？做法是否严谨？逻辑是否正确......

      时间复杂度：白话讲就是我的代码运行需要多少时间，但是我没法一行行执行完数秒，如果需要36000秒那你肯定等不了，因此抽象出了一个公式用来表示耗费时间的多少，O(1), O(log n), O(n), O(n log n), O(n2), O(nk), O(2n)，从左往右依次是最快到最慢，所以我们可以度量你写的算法大概是个什么级别。

图片摘自百度图片

       概念：什么是二分（折半）查找（binary search）? 从一个有序（必须有序）的数组（必须是线性数组）中查找到关键字。假设一个整型数组中数字有序且不重复，那么我想找到一个关键值3是否存在，有什么方式？

       第一想法那就是二分查找，NO！NO！NO！你真是高手，普通的人的想法应该是写一个for循环，遍历一遍，依次比较，然后我就知道它有没有了，并且知道它的索引在哪？那么恭喜你是一个正常人思维，写出了一个时间复杂度为N的算法。但是在大数据量的情况下，循环查找无法支撑，就需要更加有效的方式来进行处理。

       面试：手写时一般我会写成整型数组，因为这样最简单，不简单怎么让面试官从最低点开始一点点往上发挥，难道一上来就直接困难难度，接着game over？

       拉回正题，二分查找之所以常考，因为它简单，但是高效，并且应用广泛。可以找相等的关键数，也可以找大于小于的临界数，还可以找一个大于小于的范围。时间复杂度lgN，你知道它有多难么？因为平时你写的代码最多也就是时间复杂度为N的，一个for循环。lgN你可以想象为一个无限循环的半个N的时间复杂度（在半个N上再半个N），你说它牛皮不？

       ok！开始写第一行代码，首先说明我接下来要写的只是一个局部方法，并不是一个完整的代码文件。

public int binarySearch(int[] arr, int target) { }

      方法名写完了，一般人接下来可能要写二分查找的头和尾了，然后加起来除以二了。少年我只想说你太天真了，接下来就看你严谨不严谨。

if (arr == null || arr.length == 0) return -1;

先看看数组是否有内容，写完它你已经是一个严谨的少年了！！接着定义数组的头和尾，找中间点：

int low = 0;int high = arr.length - 1;int mid = (low + high) / 2;

你以为到这里就完美了么？此处我们可以开阔想法，额外展示我们对计算机01运算的了解，位移运算才是它最快的实现方式，对于乘（除）2的幂次可以对应左（右）移幂次，改为：

int mid = (low + high) >> 1;

       接下来开始进入关键环节：查找，如果mid索引处的值和我们要找的数相等，恭喜你，你已经找到了！如果小于你要找的值，由于数组有序，那你要找的target值一定在右边啦，同理大于就在左边啦。

if (arr[mid] == target) { return mid;} else if (arr[mid] < target) { // 往右边找 low = mid + 1;} else { // 往左边找 high = mid -1;}

主体部分写完了，外层还需要一个循环让它自己执行到找到目标值或这找完数组为止

while(low <= high) {}

组合起来就是：

public int binarySearch(int[] arr, int target) { if (arr == null || arr.length == 0) return -1; int low = 0; int high = arr.length - 1; while(low <= high) { int mid = (low + high) / 2; if (arr[mid] == target) { return mid; } else if (arr[mid] < target) { // 往右边找 low = mid + 1; } else { // 往左边找 high = mid -1; } } return -1;}

       如果只是如此简单，你觉得面试官是大学考试级别么？刚才我们问了数字不重复的情况，比较简单，假设其中目标值有重复我想知道其中目标值的索引范围，你有什么方法么？

        现在我们来拆分这个问题的真正要问什么?普通二分查找，要找到目标值即可，现在目标值有重复，要给出范围，也就是要找到重复值大一个数的位置（找上限）和小一个数的位置（找下限），两者即是要找的范围。当问题简化后，其实会发现很简单，以其中上限为例分析：

        因为数组有序（小到大），所以上限一定就在最后一个目标值的右侧，也就是在普通二分法的基础上，当我们找到目标时并不停止，由于要找大于目标的位置，那么此时应该继续向右查找，直到跳出循环的条件值为止，然后返回low索引

（为什么返回low索引，是因为找到上限的前提，一定是先找到了目标值，此时的索引移动方向，一定是low不断的的逼近上限，low的值一定是 <= mid值的，一旦mid所在值 > 目标值 ，便会变成high向左移动，由于跳出循环的条件是high < low值，并且low的值一定是小于等于上限值的，说明此时low的索引就是我们要找的上限值）

public int searchBigger(int[] arr, int target) { if (arr == null || arr.length == 0) return -1; int low = 0; int high = arr.length - 1; while(low <= high) { int mid = (low + high) >> 1; if (arr[mid] <= target) { // 往右边找 low = mid + 1; } else { // 往左边找 high = mid -1; } } return low; }

同理，找下限值：

public int searchSmaller(int[] arr, int target) { if (arr == null || arr.length == 0) return -1; int low = 0; int high = arr.length - 1; while(low <= high) { int mid = (low + high) >> 1; if (arr[mid] < target) { // 往右边找 low = mid + 1; } else { // 往左边找 high = mid -1; } } return high; }

将两者组合即得到了范围值。笔者当时在面试时并不是这样作答的，而是找到目标值后向前向后遍历，获取到上限和下限，但是这样做最大的缺点就是，循环遍历是时间复杂度为O（N）的做法，相当于在复杂度lgN的复杂度中退化到O（N）的复杂度，得到了结果却不是最佳方案，上述，调用了两次函数，但是每次时间复杂度都是O（lgN）,2O(lgN)约等于O（lgN），所以解法较优。

结束语：时间复杂度会专门拿一个帖子来讲，其中也会分析为什么二分查找的时间复杂度为O（lgN）