算法面试题——二分查找套路法

Posted 2021-04-10 前端三剑客

本文引用了Leetcode第704、744、69、35、278题

二分查找是算法课上必修的查找方法，二分查找算法的思想很容易理解，但是实现中的一些细节问题让人很挠头：

面试官：看看这道题吧，给你这个排好序的数组[1, 2, 2, 2, 3, 6]，2就是target，找到2这个元素，任何一个2都可以。

我：（心中暗喜，二分查找嘛哈哈），blah blah。。。

面试官：不错不错，那我把条件改一下，让你找到最后一个比2小的元素呢？

我：呃呃，那我把我代码的条件改一下哈。。。

（十分钟后）

我：呃呃，怎么死循环了呢，我再改改。。。

（又十分钟后）

面试官：没事儿没事儿，回去等通知吧。

二分查找，看似容易，但是一旦开始要处理细节问题，就麻烦不断，要么死循环，要么返回的不是正确的值。

我也为此头疼了很长一段时间，但终于发现了一套做二分查找的“套路”，只要套进去，基本没有搞不定的情形。

废话不说，开始“套路”。

四步套路法

拿到一道二分查找问题，要分为这四步思考：

1. 问题抽象化：这道题的要求是要找到哪个target？还是要找到第一个比target小（或小于等于）的元素？还是第一个比target大（或大于等于）的元素？

2. 如果当前mid指向的值等于target了之后，我应该怎么处理？是直接return？还是移动left或者right？

3. 最后一次循环的时候（循环是以left <= right作为判断条件），left === right，那么这个时候，我是移动left还是移动right，移动之后，是left指向的我想返回的结果，还是right？

4. 没找到怎么办？

   
   

   
   

最基本的二分查找

在分析二分查找变形题目之前，我们先来看看最最基本，大家都能熟练做出的二分查找题。这里我用Leetcode的第704题：二分查找，作为例子：

给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果目标值存在返回下标，否则返回 -1。

示例 1:
输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9
输出: 4
解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4

示例 2:
输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 2
输出: -1
解释: 2 不存在 nums 中因此返回 -1
 
提示：
你可以假设 nums 中的所有元素是不重复的。
n 将在 [1, 10000]之间。
nums 的每个元素都将在 [-9999, 9999]之间。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/binary-search
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

答案很经典：

/** * @param {number[]} nums * @param {number} target * @return {number} */var search = function(nums, target) { let left = 0, right = nums.length-1; while (left <= right) { let mid = left + ((right - left) >> 1); if (nums[mid] === target) return mid; if (nums[mid] > target) { right = mid - 1; } else if (nums[mid] < target) { left = mid + 1; } } return -1;};

计算mid的时候，使用left + ((right - left) >> 1)，而不是(right + left) >> 1，是为了防止溢出问题。

从上面，我们可以得到一个模板：

// 问题1：问题抽象化var search = function(nums, target) { let left = 0, right = nums.length-1; while (left <= right) { let mid = left + ((right - left) >> 1);// 问题2：如果当前mid指针等于target了之后，我应该怎么处理？ 替换：（是否需要提前退出？）if (nums[mid] === target) return mid; if (替换：（等号条件放在right？）nums[mid] > target) { right = mid - 1; } else if (替换：（等号条件放在left？）nums[mid] < target) { left = mid + 1; } } // 问题4：没找到怎么办？ // 问题3：最后一次循环的时候，left === right，那么这个时候，我是移动left还是移动right，移动之后，是left指向的我想返回的结果，还是right？ 替换：（没找到怎么办） return 替换：(返回left还是right，还是-1?)-1;};

根据不同的题目，以及我们对问题1、2、3、4的答案，我们只要把替换部分替换成问题的答案，就可以解决二分查找的变形问题。

下面看几道Leetcode真题实践一下。

寻找比target大的最小元素

我们看下Leetcode的第744题：寻找比目标字母大的最小字母：

给定一个只包含小写字母的有序数组letters 和一个目标字母 target，寻找有序数组里面比目标字母大的最小字母。

数组里字母的顺序是循环的。举个例子，如果目标字母target = 'z' 并且有序数组为 letters = ['a', 'b']，则答案返回 'a'。

示例:
输入:
letters = ["c", "f", "j"]
target = "a"
输出: "c"

输入:
letters = ["c", "f", "j"]
target = "c"
输出: "f"

输入:
letters = ["c", "f", "j"]
target = "d"
输出: "f"

输入:
letters = ["c", "f", "j"]
target = "g"
输出: "j"

输入:
letters = ["c", "f", "j"]
target = "j"
输出: "c"

输入:
letters = ["c", "f", "j"]
target = "k"
输出: "c"

注:
letters长度范围在[2, 10000]区间内。
letters 仅由小写字母组成，最少包含两个不同的字母。
目标字母target 是一个小写字母。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/find-smallest-letter-greater-than-target
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

我们先回答上面那四个问题：

1. 答案很简单：寻找比target大的最小元素

2. 当前mid指针等于target了之后，因为我要找的是比target大的最小元素，因此我要向右、向更大的元素寻找，因此要移动left。那么，nums[mid] === target这种情况应该归给left移动的条件中。

3. 最后一次循环的时候，left === right，如果数组中存在这样的值，此时left和right都指向的正好比mid大的那个元素（已经指向了正确答案啊），那么这个时候，我是移动left还是移动right呢？因为此时mid也是指向第一个比target大的元素，那么应该是移动right了。移动之后，是left指向正确答案，因此最后要返回left。如果数组中不存在这样的值，此时，left和right指向数组中最后一个元素，还是会移动left，这种情况会在第4步处理。

4.没找到怎么办？这道题里面，如果最后的left比输入数组的长度还要大的话，那么就返回第一个元素（这是题目的要求）。

好了，代码如下：

/** * @param {character[]} letters * @param {character} target * @return {character} */var nextGreatestLetter = function(letters, target) { let asciiT = target.charCodeAt(0); let left=0, right = letters.length-1; while (left <=right) { let mid = left + ((right - left) >> 1); if (letters[mid].charCodeAt(0) > asciiT) { right = mid-1; } else if (letters[mid].charCodeAt(0) <= asciiT) { left = mid+1; } } if (left > letters.length-1) return letters[0]; return letters[left];};

是不是超级简单？

那再看一道题。

寻找比target小的最大元素

我们来看Leetcode的第69题：x的平方根：

实现 int sqrt(int x) 函数。

计算并返回 x 的平方根，其中 x 是非负整数。
由于返回类型是整数，结果只保留整数的部分，小数部分将被舍去。

示例 1:
输入: 4
输出: 2

示例 2:
输入: 8
输出: 2
说明: 8 的平方根是 2.82842...,
 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/sqrtx
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

我们先回答上面那四个问题：

1. 答案很简单：寻找比target小的最大元素，不过如果找到了target，就直接返回target

2. 当前mid指针等于target了之后，因为我要找的是比target小的最大元素，因此我要向左、向更小的元素中寻找，因此要移动right。不过，这道题当中，nums[mid] === target这种情况直接就可以退出了，不需要归属left或者right 。

3. 最后一次循环的时候，left === right，此时left和right都指向的正好比mid小的那个元素（这就是正确答案）。那么这个时候，我是移动left还是移动right呢？因为此时mid是指向第一个比target小的元素，那么应该是移动left了。移动之后，是right指向正确答案，因此最后要返回right。

4. 没有不存在的情况

/** * @param {number} x * @return {number} */var mySqrt = function(x) { let left = 1, right = x; while (left <= right) { let mid = left + ((right - left) >> 1); let square = mid * mid; if (square === x) { return mid; } if (square > x) { right = mid - 1; } else if (square < x) { left = mid + 1; } } return right;};

是不是so easy！

类似的还有Leetcode第35题：搜索插入位置。唯一的区别就是这道题需要返回right + 1。不过这道题也可以当做“寻找比target大的最小元素”来做，其实更简单。

下一题！

寻找第一个等于target的元素

我们看下Leetcode第278题：第一个错误的版本:

你是产品经理，目前正在带领一个团队开发新的产品。不幸的是，你的产品的最新版本没有通过质量检测。由于每个版本都是基于之前的版本开发的，所以错误的版本之后的所有版本都是错的。

假设你有 n 个版本 [1, 2, ..., n]，你想找出导致之后所有版本出错的第一个错误的版本。

你可以通过调用 bool isBadVersion(version) 接口来判断版本号 version 是否在单元测试中出错。实现一个函数来查找第一个错误的版本。你应该尽量减少对调用 API 的次数。

示例:

给定 n = 5，并且 version = 4 是第一个错误的版本。
调用 isBadVersion(3) -> false
调用 isBadVersion(5) -> true
调用 isBadVersion(4) -> true

所以，4 是第一个错误的版本。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/first-bad-version
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

还是回答上面那四个问题：

1. 我们要寻找比第一个等于target的元素的index

2. 当前mid指向的值等于target了之后，因为我要找的第一个等于target的元素，因此我要向左寻找，因此要移动right。相等的情形归于right的条件下。

3. 最后一次循环的时候，left === right，此时left和right都指向的正好比mid小的那个元素（因此即使遇到了第一个等于target的元素，你也不知道这是不是第一个，会迫使right继续向左移动），那么这个时候，因为mid指向的第一个比target小的元素，那么应该是移动left了。移动之后，是left指向正确答案，因此最后要返回left。

4.没找到怎么办？这道题里面，肯定会存在第一个错误版本，所以不用单独处理这个问题。

代码如下：

/** * Definition for isBadVersion() * * @param {integer} version number * @return {boolean} whether the version is bad * isBadVersion = function(version) { * ... * }; */
/** * @param {function} isBadVersion() * @return {function} */var solution = function(isBadVersion) { /** * @param {integer} n Total versions * @return {integer} The first bad version */ return function(n) { let left = 1,right = n; while(left <= right) { let mid = left + ((right - left) >> 1); if (isBadVersion(mid)) { right = mid - 1; } else { left = mid + 1; } } return left; };};

不过瘾？再来一个！

寻找最后一个等于target的元素

不多说了，代码如下：

let left = 0,right = nums.length-1; while(left <= right) { if (nums[mid] > target) { right = mid - 1; } else if (nums[mid] <= target) { left = mid + 1; } } return right;}

你能理解为什么这么做么？