[二分查找] 乘法表中第k小的数

Posted 2021-04-10 热爱生活的小熊猫

 二分查找系列专题   LeetCode668

题目描述

几乎每一个人都用 乘法表。但是你能在乘法表中快速找到第k小的数字吗？

给定高度m 、宽度n 的一张 m * n的乘法表，以及正整数k，你需要返回表中第k 小的数字。

示例:

输入: m = 3, n = 3, k = 5
输出: 3
解释:
乘法表:
1	2	3
2	4	6
3	6	9

第5小的数字是 3 (1, 2, 2, 3, 3).

注意

• m 和 n 的范围在 [1, 30000] 之间。
• k 的范围在 [1, m * n] 之间。

题解

二分查找系列是我搜罗的二分查找系列的难题集合，因此今后不再讨论简单的暴力解法（无法AC且没太大意义）。

我点开这道题，它没有时间复杂度要求，方方正正的乘法表仿佛在告诉我用遍历去做。我想这个困难题不可能这么没有营养，我绞尽脑汁，仔细看了前人留下来的题解，才恍然大悟，大家都告诉我要用“二分”。

这个题和一般的二分法思路还稍有区别，二分的对象是乘法表里面的乘积。比如上面的示例中给出的3行3列的乘法表，最小值为1，最大值为3*3=9，那二分的初始边界就是1和9，详细的搜索步骤为：

• 令 left=1， right=9，求得 mid=5；计算乘法表中小于等于5的数字的个数为 6，现要求第5小的数字，显然这个数字应该在[1, 5]之间；
• 令 left=1， right=5，求得 mid=3；计算乘法表中小于等于3的数字的个数为 5，现要求第5小的数字，显然这个数字应该在[1, 3]之间；
• 令 left=1， right=3，求得 mid=2；计算乘法表中小于等于2的数字的个数为 3，现要求第5小的数字，显然这个数字应该在[3, 3]之间；
• left == right == 3，查询结束，返回3。

问：以上的思路很清晰吧，那么如何计算乘法表中小于等于target的数字的个数呢？

观察得到第i行的数字规律为 ，因此从上往下依次遍历每一行，按照如下方式计算：

// mid / i 表示第i行中小于等于mid的数字的个数，n表示列数
cnt += min(mid / i, n);

最终代码如下：

class Solution {
public:
    int findKthNumber(int m, int n, int k) {
        int left = 1, right = m * n;
        while (left < right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            int cnt = 0;
            for (int i = 1; i <= m; i++) {
                cnt += min(n, mid / i);
            }
            if (cnt >= k) right = mid;
            else left = mid + 1;
        }
        return left;
    }
};

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