二分二分查找算法

Posted 2021-04-10 MaybeACoolCoder

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[二分查找算法]

算法中经常用到二分查找算法，比如最常规的应用就是在一个有序数组中找特定的数，但是如何写出一个完整准确的二分法呢，边界条件如何判断，到底是等于还是不等？可能会困恼大家，比如说查找第一个等于5的数，那又在如何查找呢？查找最后一个等于5的数，又该如何改变？

这里有一个公式，可以解决所有这类的问题，它分为四步走：

1. 判定条件为start+1小于end，start=0, end=size-1

2. mid=start+((end-start)>>1)

3. 如果data[mid]满足条件直接返回，如果满足条件的数据在mid的右边则将start=mid，如果满足条件的数据在mid左边则将end=mid

4. 根据条件再次判定start，end两个元素是否满足条件

其实整个过程就不断缩小范围的过程，最后一步就是将整个数组的范围缩小到start end两个元素而已。

这里第3步有一个小的窍门就是不管什么情况下都应该单独判data[mid]大于等于和小于的情况，而不应该合并，因为会比较容易出错。

下面以求在有序数组中求最后一个等于特定元素的位置为例

class Solution {public: /** * @param A an integer array sorted in ascending order * @param target an integer * @return an integer */ int lastPosition( vector< int>& A, int target) { if( A.empty() ){ return -1; }
 int Start = 0; int End = A.size() - 1; while(Start+1 < End) { auto Mid = Start + ( (End-Start) >> 1 ); if( A[Mid] == target){相等的情况只可能出现的Mid的右边 Start = Mid; } else if( A[Mid] < target){ Start = Mid; } else{ End = Mid; } }
 if( A[End] == target){因为是求最后一个等于target的元素位置，所以对于一个两个元素的数组，当然是先判断end了 return End; } else if( A[Start] == target){ return Start; } else{ return -1; } }};

非常简单吧。

典型题目，求sqrt

class Solution {public: /** * @param x: An integer * @return: The sqrt of x */ int sqrt(int x) { if(0 == x){ return 0; }
 long Start = 0; long End = x; while(Start+1 < End) { auto Mid = Start + ( (End-Start) >> 1); long MidSquare = Mid * Mid; if(MidSquare == x){ return Mid; } else if(MidSquare < x){ Start = Mid; } else{ End = Mid; } }
 if(End*End < x){ return End; } else{ return Start; } }};

还有一种典型的题目就是在一个sorted array中寻找一个数字，但是这个sorted array可能旋转过的

二分排序算法

二分排序算法思想是分治，将大的问题简化成为小的问题，所有小的问题全部解决了，整个问题就解决了。

二分排序的期望复杂度是O(nlgn)，最差情况是O(n^2)

二分排序中最重要的是partition函数，直接写不容易写对，下面直接给出模板

 int pivot = nums[begin]; int left = begin; int right = end; while (left < right) { while(left < right && nums[right] > pivot) { right--; } nums[left] = nums[ right] ;  while(left < right && nums[left] <= pivot) { left++; } nums[right] = nums[ left] ; } nums[left] = pivot;

 return left;最后left和right会相遇，相遇位置存放的就是pivot，接下来就是继续处理左右两个子集典型应用有，求第k大数从大到小的采用partition方法，如果返回的pivot位置正好是k-1，则直接返回，如果比k-1小，则第k-1个数肯定在pivot的右边，也就是找k-1-pivot大的数，如果比k-1大，则在pivot的左边找第k-1大的数。

这种算法叫做quickselect，期望的复杂度是O(n)，最差是O(n^2)

 

另外一种场景就是在一个数据流中求中位数或者第k大数

数据流的意思就是不能一下子load出所有的数据，只能一个一个处理，这种场景就需要建立两个PQ，一个是最小堆，一个是最大堆，前面k个数为最小堆，后面len-k个数为最大堆，当有新的数进来的时候先判断这个数是应该放在左边还是右边，然后直接插入，再重新调整，保证左边的数据个数为k个就可以，所以每次压入一个新数，左边的堆顶元素则为所求。这也是采用partition的思想来解决问题。

这里有一种变形就是如果是window的第k大数，则需要用hashheap，因为window移动的时候需要增加一个元素同时再删除一个元素，hash就可以最快的找到元素从heap中删除。

ps：在求前k个数或者第k大数时优先考虑quickselect，然后就是PQ是一个比较好的策略，算法的复杂度为nlgk

 

二分合并

二分排序是将大问题分解成为小问题，当所有小问题全部解决了，那最后的结果也就出来了，二分合并则是先将问题分割成为小问题，解决每个小问题，然后将小问题的结果合并得到最后的结果。

最典型的问题就是合并n个链表，n个有序链表，如何合并成为一个有序链表？这道题目有两种解法：

1. 将n个有序序列的第一个元素压入到PQ中，然后从PQ每次取出最大值，同时将最大值的下一个节点再次压入PQ中，依次将所有节点合并。这个算法的复杂度为mlgn，总共有m个节点

2. 每次两两合并，最终得到一个结果，这是典型的合并排序，这个算法复杂度为mlgn

 

小结

二分法在实际的项目中运用还是非常多的，算是基本算法，其中心思想是分治，它除了在数组中使用较多，另外一个应用的场景就是二叉树的问题。