二分查找边界问题

Posted 2021-04-10 派先生的算法小屋

【练习】http://111.229.45.229/

P1004 数字查找

P1005 等式配对

1004: 【二分】数字查找2

时间限制:  1 Sec   内存限制: 128 MB

题目描述

输入n个数字，进行T次查询，每次输入关键字，查询第一个大于关键字的数字，若不存在则输出"NO"。

输入

第一行n和T，代表n个数字，T次查询
接下来一行n个数字
接下来T行表示每次查询的数字

输出

对于每次查询，输出结果

样例输入

5 3
2 3 1 4 7
6
1
7

样例输出

7
2
NO

【算法分析】

  传统的对分查找其实并没有太多应用场合，许多题目背景中，我们无法直接判断出当前元素是不是答案。

  不同于高考要求的传统对分，上题中我们无法直接得出查找的元素是否是我们想要的答案。以查找值5为例，我们只能判断当前的查找元素是否大于5，却不能知道是否前面还有大于5的，所以无法直接确定当前是不是第一个大于5的元素了。

  当然，我们可以选择先查找5，查找结束后，在结束时的位置继续向右循环查找，这种方法可以很大程度上提高效率，但是对于某一些特殊数据仍然会耗费大量时间，这里需要用到对分查找边界了。

再举一个例子：

• 序列1、3、4、6、7、8、10，查找第一个大于5的元素。

观察这个序列，要查找第一个大于5的元素位置，这里用颜色标记出来：

1、3、4、6、7、8、10

红色的是符合（大于5）的，蓝色是不符合（<=5）的。由于我们希望找到第一个大于5的元素，此时，根据是否大于5，将区间分成了两部分，我们需要查找的是一个临界点，也就是两个区间的交接处，这是对分查找变体应用中最为常见的形式。

 

我们还是设置变量l，r，mid，key；

如果a[mid]小于key（不符合的），那么说明答案在右边，于是l=mid；

如果a[mid]大于key（符合的），那么说明答案在左边或者当前就是答案，于是r=mid；

最后一定会逼近答案

如下图所示，我们找的第一个大于5的数字，即紫色边界的右边第一个数字，为“6”。

                           

【基本代码】

While L + 1 < R:

         m= (L + R) >>1

         Ifkey>a[m]:  //分支1，落在右半区间

                   R= m

         Else:        //分支2，落在左半区间

                   L= m

Print(a[R])

我们分析这段二分查找的代码：

  首先和传统二分的最大区别是只有两个分支（因为只有左右区间两种情况），这样一来，也就不存在中途跳出的情况了，必定是当L>=R时跳出。

  那么，最终第一个大于5的位置是什么呢，l？r？还是mid？

  如下图所示，这种模板下，L和R在跳出时，必定停留在这两个位置（可以多模拟几遍，会发现除非输入大于1等于10的数字，其它情况，在跳出时R的位置都刚好是答案）。

  这是因为L和R的移动方式所导致的，由于L和R都只能移动到m，所以L和R都不可能越过紫色的“边界”，最后“隔海相望”，于是将循环边界设置为L+1<R。（小细节：如果输入的数字是一个大于等于10的数字怎么办？也就是说整个序列都不存在大于key的数字。具体解决办法可以写if语句特殊判定，或者将R的初始值改为n+1，在输出时特判）。

其实打法并不唯一，对于新手来说最后逼近答案时的临界情况是不好把握的，需要自己去推敲，这里共整理了4种模板。注意模板之间没有本质区别，一种模板可以无差别地替换成其它模板，其功能完全一样。

模板2：

While L <= R:

         m= (L + R) >>1

         Ifkey>a[m]:  //分支1，落在右半区间

                   R= m-1

         Else:        //分支2，落在左半区间

                   L= m+1

Print(a[L])

此种模板下，L和R在跳出时的位置如下图所示，则对应的，答案变为a[L]。

                           

模板3：

While L < R:

         m= (L + R) >>1

         Ifkey>a[m]:  //分支1，落在右半区间

                   R= m-1

         Else:        //分支2，落在左半区间

                   L= m

Print(a[L])

此种模板下，L和R在跳出时的位置如下图所示，则对应的，答案变为a[L+1]或a[R+1]。

模板4：

While L < R:

         m= (L + R + 1) >>1

         Ifkey>a[m]:  //分支1，落在右半区间

                   R= m

         Else:        //分支2，落在左半区间

                   L= m+1

Print(a[L])

此种模板下，L和R在跳出时的位置如下图所示，则对应的，答案变为a[L]或a[R]。

【小结】二分查找边界问题在编程中的应用更为广泛，但是由于其“模板”较多，导致初学者出现理解的混乱，事实上在抓住变化规律前，可以尝试先记住一种模板，之后渐渐理解其它模板。集中模板在本质上没有任何区别，互相之间可以完全替代。

  二分查找的难点还是在于二分的建模和查找时的验证，这回在进阶篇中进行介绍（感觉又在挖坑，，，）。