图解二分查找的递归和非递归实现

Posted 2021-04-09 大数据记事本

    二分查找算法也叫折半查找算法，是一种查找效率非常高的算法。二分查找针对的是一个有序的数据集合，查找思想有点类似分治思想。每次都通过跟区间的中间元素对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为 0。

一、复杂度分析

时间复杂度：     

    假设数据集大小是 n，每次查找后数据都会缩小为原来的一半，即除以 2。最坏情况下，直到查找区间被缩小为空，才停止。

    当 n/2k=1 时，k 的值就是总共缩小的次数。而每一次缩小操作只涉及两个数据的大小比较，所以，经过了 k 次区间缩小操作，时间复杂度就是 O(k)。通过 n/2k=1，我们可以求得 k=log2n，所以时间复杂度就是 O(logn)。

空间复杂度：

    对于非递归实现，辅助空间为常数级别，所以空间复杂度为：O(1)

    对于递归实现，每次方法调用会定义一个mid变量，而上面提到缩小的次数为k，所以方法的调用次数为k+1，所以空间复杂度为：O(log2n+1)，即O(logn)。

二、二分查找的递归实现

前提：这里我们只考虑最简单的情况，即有序数组中不存在重复元素，包含重复元素的我们下节再讲

思路分析：

    我们定义一个有序数组的开始下标为begin，结束下标为end，待查找的数据为target，查找过程如下：

1. 找到数组的中间位置下标mid：int mid = end+((begin-end)/2)
2. 比较数组中间值和target的大小：
1. 如果中间值大于target，说明待查找值在mid左边，在左边递归查找；
2. 如果中间值小于target，说明待查找值在mid右边，在右边递归查找；
3. 如果中间值等于target，说明找到了待查找值，直接返回
3. 如果begin>end，结束递归，说明没有待查找的值

图解：

代码实现：

public static int binarySearch(int[] arr, int begin, int end, int target) { if (begin > end) { return -1;//返回-1表示没有找到 } int mid = end + ((begin - end) / 2);    if (target < arr[mid]) {//中间值大于查找值，递归向左边查找 return binarySearch(arr, begin, mid - 1, target); } else if (target > arr[mid]) {//中间值小于查找值，递归向右边查找 return binarySearch(arr, mid + 1, end, target); } else { return mid;//返回target在数组中的位置下标 }}

注意：

• 递归结束的条件：begin>end

• 中间下标的计算公式：由于int mid = (begin + end) / 2 这个计算公式中(begin + end)存在溢出的风险，所以采用int mid = end + ((begin - end) / 2)，或者int mid = (begin + end)>>>1

• begin和end的更新：low=mid+1，high=mid-1。注意这里的 +1 和 -1，如果直接写成 low=mid 或者 high=mid，就可能会发生死循环。比如，当 high=3，low=3 时，如果 a[3]不等于 value，就会导致一直循环不退出。

三、二分查找的非递归实现

思路分析：

    在非递归实现时，查找过程如下：

1. 启动一个while循环，只要满足begin<=end，就继续执行

2. 找到数组的中间位置下标mid：int mid = end+((begin-end)/2)

3. 比较数组中间值和target的大小：

1. 如果中间值大于target，说明待查找值在mid左边，将end改为mid-1；

2. 如果中间值小于target，说明待查找值在mid右边，将begin改为mid+1；

3. 如果中间值等于target，说明找到了待查找值，直接返回

4. 如果begin>end，结束循环，说明没有待查找的值

图解：

代码实现：

public static int binarySearch(int[] arr,int begin,int end,int target){ while (begin<=end){ int mid = (begin + end) / 2; if (arr[mid]==target){ return mid;//返回target在数组中的位置下标 } //如果数组中间值比目标值大，说明在左边，那么把end修改为mid-1，然后在左边继续二分查找 if (arr[mid]>target){ end=mid-1; }else{ begin=mid+1; } } return -1;}

注意：

• 循环的执行条件：begin<=end