聊一聊二分查找法

Posted 2021-04-09 HUC思梦

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了聊一聊二分查找法相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

前言

二分查找法是什么，难道是我们刚入行时候写的搜索算法吗？

还记得我们刚入行，接触算法的时候，一般都会从冒泡排序、二分查找开始入手算法，那小伙伴们会不会觉得这个算法太容易了，没有必要用一篇文章来讲解呢。

如果你有这样的疑问，那么王子问大家几个问题，看大家能否很容易的就回答的上。

你清楚二分查找法一般用于哪些查找场景吗？

你清楚循环终止条件吗？

什么时候使用<=，什么时候使用<这些你都清楚吗？

本文就与小伙伴们一起探讨几个最常用的二分查找场景：寻找一个数、寻找左侧边界、寻找右侧边界。

并对里面的实现细节做一个仔细的分析。

寻找一个数（最基本的二分查找法）

这个场景是最简单的场景，也是大家最熟悉的入门算法，即在数组中搜索一个指定的数字，如果存在返回索引，如果不存在返回-1.

直接看代码：

int binarySearch(int[] nums, int target) {
    int left = 0; 
    int right = nums.length - 1; // 注意

    while(left <= right) { // 注意
        int mid = left+(right - left) / 2;
        if(nums[mid] == target)
            return mid; 
        else if (nums[mid] < target)
            left = mid + 1; // 注意
        else if (nums[mid] > target)
            right = mid - 1; // 注意        }
    return -1;
}

针对于上边的代码，我们探讨几个问题。

1.为什么while循环中用的是<=而不是<?

因为我们初始化的right=nums.length-1，而不是nums.length。这两者的区别就是前者表示的是闭区间查找[left,right]，后者表示的是开区间查找[left，right）。

因为我们选择的是[left,right]闭区间查找，所以while中的条件就是left<=right.

那么什么时候应该退出循环呢？当然是找到目标值了。

        if(nums[mid] == target)
            return mid;

如果没有找到，就会通过while循环条件终止，并返回-1,而这个while循环中的条件，用大白话来讲就是代表搜索的区间是空的，

while(left <= right)的终止条件是 left == right + 1，写成区间的形式就是 [right + 1, right]，这种情况已经把数组中所有该寻找的值寻找过了，所以直接返回 -1 是没有问题的。

while(left < right)的终止条件是 left == right，写成区间的形式就是 [right, right]，这时候搜索区间非空，还有一个数 right，但此时 while 循环终止了。也就是说索引 right被漏掉了，没有进行判断，如果这时候直接返回 -1 就可能出现错误。

这种错误我们只要在下边做些改动就可以解决。

//...
while(left < right) {
    // ...
}
return nums[left] == target ? left : -1;

2.为什么 left = mid + 1，right = mid - 1？

其实只要我们明白了刚才讨论的搜索区间原则，理解这个并不难。

我们的搜索区间是[left,right]，那么当我们发现mid不是目标值的时候，应该怎么继续查找呢？当然是去查找[left,mid-1]或者是[mid+1,right]了，这个应该好理解吧。

所以如果我们nums[mid]<target的时候，代表要找的值在[mid+1，right]这一区间中，所以就有了left=mid+1。right=mid-1同理。

3.这样的写法是否可以解决所有二分查找的问题？

答案是不能的，如果给我们的nums=[1,3,3,3,4],target=3,由于是在中间二分查找，那返回的结果就是2。

但是如果我们要得到左侧边界和右侧边界，这种写法就不能实现了。

接下来我们分别说明左侧边界和右侧边界的写法。

左侧边界问题

首先我们要明白什么是左侧边界。

其实左侧边界可以理解成，这个数组中所有小于目标值的数字有几个，还是拿nums=[1,3,3,3,4],target=3来举例，它的左侧边界就是1，白话解释就是所有小于3的数字有1个。如果target=5,它的左侧边界就是5，也就是数组的长度，白话解释就是所有小于5的数字有5个。

好了，我们直接看代码：

int left_bound(int[] nums, int target) {
    if (nums.length == 0) return -1;
    int left = 0;
    int right = nums.length; // 注意

    while (left < right) { // 注意
        int mid = left+( right - left ) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            right = mid;
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid; // 注意        }
    }
    return left;
}

1.为什么没有返回 -1 的操作？如果 nums 中不存在 target 这个值，怎么办？

上边我们给大家白话解释了什么是左侧边界，那么什么时候会返回-1呢？就是没有找到目标数字的时候才会返回-1.

那么什么时候算是没有找到这个数字呢，一共有两种情况，一种情况是目标数字大于数组中的每个数字，这种情况下，left=right=nums.length。另一种情况是目标数字小于数组中的每个数字，也就是left=right=0，而且nums[0]!=target。

明白了上边的道理，我们就可以更改代码如下：

while (left < right) {
    //...
}
// target 比所有数都大
if (left == nums.length) return -1;
// 类似之前算法的处理方式
return nums[left] == target ? left : -1;

2为什么 left = mid + 1，right = mid ?

这个问题其实很好解释，我们之前的区间是[left,right]闭区间，而我们现在的区间是[left,right),所以当我们发现nums[mid]<target的时候，代表目标值在[left,mid)中，所以right=mid，而nums[mid]>target的时候，代表目标值在[mid+1,right)中，所以left=mid+1.

3.如何解释nums[mid]==target的时候，right=mid

其实这个就是解决左侧边界的主要判断条件。我们找到target的时候不是直接返回索引的，而是继续缩小范围并向左收缩的，也就是缩小[left,mid)的范围，所以就有了right=mid的写法。其实明白了这里，右侧边界也是同理，向右收缩搜索范围即可，写成left=mid+1就可以了。

右侧边界

有了左侧边界的经验，我们再来看右侧边界的问题就很容易了，直接看代码:

int right_bound(int[] nums, int target) {
    if (nums.length == 0) return -1;
    int left = 0, right = nums.length;

    while (left < right) {
        int mid = left+(right-left) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            left = mid + 1; // 注意
        } else if (nums[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else if (nums[mid] > target) {
            right = mid;
        }
    }
    if (left == nums.length) return -1;
    return nums[left-1] == target ? (left-1) : -1;// 注意
}

代码中已经标注了与左侧边界不同的地方。

1 left=mid+1刚才我们已经解释过了，不再说明。

2 为什么返回的值是left-1，而不是left

其实这个问题也好解释，因为本来我们要返回的值是mid，而在左侧边界问题中，最终结果的时候left=mid=right，所以返回left或者right都可以

而在右侧边界问题中，我们的left=mid+1=right，所以mid=left-1。

所以我们的返回值就是left-1了。

扩展

为了让大家对二分查找法印象更深刻，王子给大家分享一道扩展的题目，求x的平方根，题目如下：

这道题目其实也是可以用二分查找法做出来的。

求x的平方根，我们可以把搜素区间粗略的设定为[0,x]，在这个区间中进行二分查找锁定目标就可以了。

那么什么时候算是找到了目标呢，肯定是mid*mid==target，或者是mid*mid<target，而且(mid+1)*(mid+1)>target，这两种情况下mid就是我们想要的结果。

有了思路，我们来看代码：

    public int mySqrt(int x) {
        // result用于存储结果
        int left = 0, right = x, result = -1;
        while (left <= right) {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            // 这里一定要转换成long类型，否者如果数字过大会变成负数，影响结果
            if ((long) mid * mid <= x) {
                result = mid;
                left = mid + 1;
            } else {
                right = mid - 1;
            }
        }
        return result;
    }