数据结构二叉树及其各种遍历
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了数据结构二叉树及其各种遍历相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
作者丨STzen
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二叉树的定义
二叉树（Binary Tree）是n（n>=0）个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者是由一个根结点和两颗互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。（官方概念，不是很直观，直接上图）
二叉树的特点
每个结点最多有两颗子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。（注意不是只有两颗子树，是最多有）
左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。
即使树中某个结点只有一棵树，也要区分它是左子树还是右子树。
二叉树的五中基本形态
空二叉树。
只有一个根节点。
根结点只有左子树。
根结点只有右子树。
根结点既有左子树又有右子树。
特殊二叉树
斜树
左斜树：所有的结点都只有左子树的二叉树。
右斜树：所有的结点都只有右子树的二叉树。
满二叉树
所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上的二叉树。
满二叉树的特点
叶子结点只能出现在最下一层。出现在其他层就不可能达到平衡。
非叶子结点的度一定是2。
在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最少。
完全二叉树
对于一颗具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i(1<=i&&i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同的二叉树。（概念难理解，直接上图）
完全二叉树的特点
叶子结点只能出现在最下两层。
最下层的叶子一定集中在左部连续位置。
倒数第二层，若有叶子结点，一定都在右部连续位置。
如果结点度为1，则该节点只有左孩子，即不存在只有右子树的情况。
同样结点的二叉树，完全二叉树的深度最小。
区分满二叉树和完全二叉树
满二叉树一定是完全二叉树。
完全二叉树不一定是满二叉树。
性质1：在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个结点（i>=1）。
性质2：深度为k的二叉树至多有2^k - 1个结点(k>=1)。（注意是2^k后再减去1）
性质3：对任何一颗二叉树T，如果其终端结点数为n0,度为2的结点树为n2,则n0 = n2+1.
性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度为：向下取整log2n+1;(注意，对x的向下取整就是取不大于x的最大整数)
性质5：如果对一颗有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号（从第1层到第（向下取整log2n+1），每层从左到右）层，对任一结点i(1<=i&&i<=n)有：
如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲是结点：向下取整i/2;
如果2i>n，则结点i无左孩子（结点i为叶子结点）;否则其左孩子是结点2i;
如果2i+1>n，则结点i无右孩子；否则其右孩子是结点2i+1；
树的存储结构可以查看前一篇文章：
由于二叉树是特殊的树树的定义和树的三种存储结构
由于二叉树是一种特殊的树，所以一般采用二叉链表来存储二叉树。将二叉树的结点的最多有两个孩子，所以为它设计一个数据域和两个指针域。
代码实现：
/* 二叉树的二叉链表结点结构定义 */
typedef int ElemeType;
typedef struct BiTNode{ // 结点结构
ElemeType data; // 结点数据
struct BiTNode * lchild; // 左孩子指针
struct BiTNode * rchild; // 右孩子指针
}BiTNode, *BiTree;
二叉树的遍历定义
二叉树的遍历是指从根节点出发，按照某种次序访问二叉树中所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。
二叉树的遍历方式有很多，如果我们限制了从左到右的习惯方式，那么主要分为四种：
前序遍历
中序遍历
后序遍历
层序遍历
前序遍历
若二叉树为空，则空操作返回；
若不为空，则先访问根结点，然后前序遍历左子树，在前序遍历右子树。
下图的前序遍历结果为：ABDGHCEIF
中序遍历
若二叉树为空，则空操作返回；
若不为空，则从根节点开始（注意并不是先访问根结点），中序遍历根节点的左子树，然后访问根节点，最后中序遍历右子树。
下图的中序遍历结果是：GDHBAEICF
后序遍历
若二叉树为空，则空操作返回；
若不为空，则从左到右先叶子后结点的方式遍历访问左右子树，最后访问根节点。
下图的后序遍历结果为：
层序遍历
若二叉树为空，则空操作返回；
若不为空，则从树的第一层(也就是根结点)开始访问，从上到下逐层遍历，在同一层中，从左到右的顺序对结点逐个访问。
下图的层序遍历结果为：ABCDEFGHI
代码实现
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MAXSIZE 100
typedef char ElemType;
typedef struct BiTNode{
char data; // 数据域
struct BiTNode * lchild; // 指向左孩子的指针
struct BiTNode * rchild; // 指向右孩子的指针
}BiTNode, *BiTree;
/**
* 按照前序输入的方式构造二叉树
*/
void CreatBitree(BiTree *T){
char c = ' ';
scanf("%c", &c);
if (c == '#') { // 空结点
*T = NULL;
}else{
*T = (BiTNode *)malloc(sizeof(BiTNode));
if (!T)
exit(0);
(*T)->data = c; // 生成根节点
CreatBitree(&(*T)->lchild); // 构造左子树
CreatBitree(&(*T)->rchild); // 构造右子树
}
}
/**
* 二叉树的前序递归遍历
*/
void PreOrderTraverse(BiTree T){
if (T == NULL) // 空树
return;
printf("%c", T->data); // 显示结点数据
PreOrderTraverse(T->lchild); // 先序遍历左子树
PreOrderTraverse(T->rchild); // 再先序遍历右子树
}
/**
* 二叉树的中序递归遍历
*/
void InOrderTraverse(BiTree T){
if (T == NULL) // 空树
return;
InOrderTraverse(T->lchild); // 中序遍历左子树
printf("%c", T->data); // 显示结点数据
InOrderTraverse(T->rchild); // 最后中序遍历右子树
}
/**
* 二叉树的后序递归遍历
*/
void PostOrderTraverse(BiTree T){
if (T == NULL) // 空树
return;
PostOrderTraverse(T->lchild); // 先后序遍历左子树
PostOrderTraverse(T->rchild); // 再后序遍历右子树
printf("%c", T->data); // 显示结点数据
}
测试代码
int main(int argc, const char * argv[]) {
printf("请按照先序输入二叉树的结点，空结点用#表示, 回车结束
");
BiTree T = NULL;
CreatBitree(&T);
printf("该二叉树的前序遍历结果为：
");
PreOrderTraverse(T);
printf("
");
printf("该二叉树的中序遍历结果为：
");
InOrderTraverse(T);
printf("
");
printf("该二叉树的后序遍历结果为：
");
PostOrderTraverse(T);
printf("
");
return 0;
}
扩展：遍历二叉树的同时输出该节点所在的层数
在二叉树的几种遍历方式的代码中，为了输出该节点的数据，会有一个printf，要输出该节点的层数 ，就可以改变这里的代码来实现，比如在前序递归遍历的同时输出节点所在层数，可以将这个打印代码写在一个封装在一个方法里面然后调用
代码实现
/**
* 打印该节点所在层数
*/
void visit(char c, int level){
printf("%c 位于第 %d 层
", c, level);
}
/**
* 二叉树的前序递归遍历
*/
void PreOrderTraverse(BiTree T, int level){
if (T == NULL) // 空树
return;
// printf("%c", T->data); // 显示结点数据
visit(T->data, level); // 调用写好的打印方法
PreOrderTraverse(T->lchild, level + 1); // 先序遍历左子树
PreOrderTraverse(T->rchild, level + 1); // 再先序遍历右子树
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
printf("请按照先序输入二叉树的结点，空结点用#表示, 回车结束
");
int level = 1;
BiTree T = NULL;
CreatBitree(&T);
printf("该二叉树的前序遍历结果为：
");
PreOrderTraverse(T, level);
printf("
");
return 0;
}
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注
以上是关于数据结构二叉树及其各种遍历的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章