二叉树及其遍历

Posted 2021-04-09 Geek社区plus

二叉树的定义

二叉树是一种特殊的树，它具有以下特点：

• 树中每个节点最多只能有两棵树，即每个节点的度最多为 2，即，二叉树中的结点最多只能有两个孩子节点

  
  

• 二叉树的子树有左右之分，即左子树与右子树，次序不能颠倒

  
  

• 二叉树即使只有一个子树时，也要区分是左子树还是右子树

满二叉树

  满二叉树作为一种特殊的二叉树，它是指：所有的分支节点都存在左子树与右子树，并且所有的叶子节点都在同一层上。其特点有：

  （1）叶子节点只能出现在最下面一层   （2）非叶子节点度一定是2   （3）在同样深度的二叉树中，满二叉树的节点个数最多，节点个数为：2h−1  （h 为二叉树的深度）
    若设二叉树的深度为 h ，除第 h 层外，其它各层 (1～h−1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层所有的结点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。其具有以下特点：

  （1）叶子节点可以出现在最后一层或倒数第二层。

  （2）最后一层的叶子节点一定集中在左部连续位置。

  （3）完全二叉树严格按层序编号。（可利用数组或列表进行实现，满二叉树同）   （4）若一个节点为叶子节点，那么编号比其大的节点均为叶子节点。

  

二叉树的相关性质

• 在非空二叉树的 i 层上，至多有 2i−1 个节点 (i≥1)

  
  

• 在深度为 h 的二叉树上最多有 2h−1 个节点 （k≥1)
  

• 对于任何一棵非空的二叉树,如果叶节点个数为 n ，度数为 2 的节点个数为 m ，则有: n = m + 1
  

完全二叉树性质

• 具有 n 个的结点的完全二叉树的深度为 log2 n + 1

• 如果有一棵有 n 个节点的完全二叉树的节点按层次序编号，对任一层的节点 i ，（1 ≥ i ≥ n） 有：

     （1）如果 i=1 ，则节点是二叉树的根，无双亲，如果 i >1 ，则其双亲节点为 [i/2 ]

     （2）如果 2i>n 那么节点i没有左孩子，否则其左孩子为 2i

     （3）如果 2i+1 > n 那么节点没有右孩子，否则右孩子为 2i + 1    

二叉树的遍历

  二叉树的遍历是一种递归的二叉树节点的访问方式，可以分为三种，先序遍历、中序遍历、后序遍历，其中先序、中序、后序指的是这三种访问方式中，访问每一个子树的父节点的顺序：

先序遍历:

访问父节点 访问左孩子 访问右孩子

中序遍历:

访问左孩子 访问父节点 访问右孩子

后序遍历:

访问左孩子 访问右孩子 访问父节点如上图各种访问方式的访问结果为：

先序遍历：A B D H I E J C F G

中序遍历：H D I B J E A F C G 

后序遍历：H I D J E B F G C A

其他遍历方式：

层次遍历：A B C D E F G H I J

深度优先遍历：A B D H I E J C F G