二叉树性质及部分通俗解释

Posted 2021-04-09 老番茄的春天

学习数据结构和算法的时候，树是一种非常重要的数据结构，并且在各种语言中的应用也十分广泛。 为什么要学习二叉树？ 二叉树是一种基础的“树”，许多树都是以二叉树为基础衍化而来的，所以学习二叉树非常有必要。 为什么要掌握树的性质？ 掌握树的性质，对于使用树解决实际问题是非常有必要的。 下边会分为两个版本去证明二叉树的4个重要性质：

性质1：在二叉树的第i层上，至多有2i−1个节点。 数学证明方法： 假设：第i层的结点至多为 N, 由上需证明 在二叉树的第i层上有N=2i−1 ① i=1时，因为二叉树只有一层时只有一个根结点，故 20=1 成立 ② 假设，当 i =k 时，等式成立，即N=2k−1 那么，当 i =k +1 时，因为第 k+1 层是第 k 层的下一层，故第 k + 1 层的结点最多为 2k−1∗2=2k=2(k+1)−1, 即 当i = k + 1时，N=2(k+1)−1成立, 由①, ②可知对一切自然数 i 等式成立

通俗解释： ①二叉树的根节点必定是一个，所以根节点符合此性质； ②二叉树配合国家二孩政策，最多生二胎，不超生，也就是说每个节点最多有两个子节点，那么下一层的个数，撑死了也就是上一层的二倍，故性质成立。

特性2:深度为 h 的二叉树, 它的结点至多为2h−1 (深度即层数) 数学证明： 设，深度为 h 的二叉树的结点至多为 S(h),需证明等式S(h)=2h−1成立 二叉树，每一层都取最大的结点数，由特性1 有： 20+21+22+...+2h−1 = S(h) ① 21+22+23+...+2h= 2S(h) ② ② - ① = 2S(h) - S(h) = S(h) = 2h−20=2h−1，即等式S(h)=2h−1成立 通俗解释： 无。

特性3:对任何一颗二叉树，若它含有n0个叶子结点，n2个度(度，即产生分支数目)为2的结点，则必存在关系式:n0=n2+1 设，度为0的结点个数为 n0, 度为1的结点个数为n1, 度为2的结点个数为n2, 整个二叉树上结点的数目为 n，二叉树上分支的数目为 b, 则有n0+n1+n2=n① 除了根结点以外都有一双亲结点(也叫父结点)，有一个双亲,说明有一个分支 分支数目为 b，根节点没有父节点。 所以 n=b+1② 那么分支都是由度不为0的结点产生的，度为0的产生0个分支，度为1的结点产生1个分支，度为2的结点产生2个分支。 因为二叉树的结点数等于分支数+1，故有：n1+2n2+1=n ③ 由 ①−③=n0−n2−1=0 即， n0=n2+1

通俗解释： 由上图我们看到，只有根节点有两个度n2，是符合n0=n2+1，n0也只有两个，那么我们任意加一个结点会发生什么，我们思考一下？ 对，那就是会多一个n2，同时也会多一个n0； 这个时候有同学就会说了，那我加两个呢，你这还成立吗？ 同样的，多一个n2，同时也会多一个n0，中间的那个就变成n1了；

这次先介绍到这里！

再见~